Помогите пожалуйста с экстремумом функции!

Что сложного?

Глобальных экстремумов нет

y' = 2x
y' = 0 при x = 0
Единственный экстремум в x = 0 - точка минимума

Необходимое условие локального экстремума функции в точке: либо производная в точке равна нулю, либо производной не существует в этой точке, либо производная в этой точке равна + или - бесконечности. Берём производную функции. y'=2x. Видим что она везде существует и всё ок. Но в нуле, она равна в нулю! Возможно (но не факт) там есть экстремум.
1 достаточное условие локального экстремума:
пусть функция непрерывна в точке, дифференцируема в некоторой окрестности этой точки, а производная функции меняется знак при переходе через эту точку, тогда функция имеет локальный экстремум. Твоя функция непрерывна и дифференцируема всюду - класс. А производная сначала убывает, а потом возрастает - значит есть экстремум, причём это, очевидно, минимум.