Помогите с задачей
Четырёхугольник ABCD вписан в окружность. Угол В=75°, угол А=55°. Найти углы С и D. (С решением)
Ответ: 105°, 165°.
Решение:
1. Поскольку четырёхугольник ABCD вписан в окружность, то
сумма его противоположных углов равна 180°.
2. Пусть ∠С = х, тогда ∠D = 180° – ∠х.
3. Составим и решим уравнение:
х + 75° = 55° + 180° – х;
2х = 110°;
х = 55°.
4. Тогда ∠D = 180° – 55° = 125°.
5. Но угол четырёхугольника не может быть больше 180°, следовательно,
∠D = 180° – ∠х = 180° – 75° = 105°.
6. Углы С и D будут равны 105° и 165° соответственно.
Чтобы найти углы C и D, мы можем использовать свойство вписанных углов, которое утверждает, что угол, образованный двумя хордами, равен половине суммы пересекаемых ими дуг.
Угол C образован дугой AD, а угол D - дугой BC. Таким образом, угол C равен половине суммы дуг AB и CD, а угол D - половине суммы дуг BC и AD.
Угол AB = 180° - угол A = 180° - 55° = 125°
Угол CD = угол A = 55°
Угол BC = 180° - угол B = 180° - 75° = 105°
Угол AD = угол B = 75°
Теперь можем посчитать углы C и D:
Угол C = (AB + CD) / 2 = (125° + 55°) / 2 = 90°
Угол D = (BC + AD) / 2 = (105° + 75°) / 2 = 90°
Итак, углы C и D равны 90°.