Из школьных программ будущего: уравнение Лежандра k(1)*X^2 + k(2)*Y^2 = Z^2

Какие уравнения Лежандра k(1)*X^2 + k(2)*Y^2 = Z^2 можно решить на основе
античного уравнения x^2 + k*y^2 = z^2, где k = k(1)k(2) свободно от квадратов?

Переход от первого ко второму, изложенный в Essai Лежандра и в "Высшей арифметике" Дэвенпорта, может потребовать многих шагов. Найдя обратный переход от второго к первому, удается облегчить составление формул решения.

x^2 + k*y^2 = z^2 (разрешимое полностью
посредством одного или двух тождеств)
при x = am+bn, y = cm-dn принимает вид
(a^2+kc^2)*m^2 + (2ab-2kcd)*mn + (b^2+nd^2)*n^2 = z^2;
ради ab = kcd берем a = k(1)pq, b = k(2)st, c = pt, d = sq,
т.е. полную картину сохранения и движения множителей.
Тогда
a^2+kc^2 = {k(1)pq}^2+k*{pt}^2 = k(1)p^2*[k(1)q^2+k(2)t^2] ,
b^2+kd^2 = {k(2)st}^2+k*{sq}^2 = k(2)s^2*[k(1)q^2+k(2)t^2] ;
следует
(a^2+kc^2)*m^2 = k(1)*(pm)^2 * [k(1)q^2+k(2)t^2] ,
(b^2+kc^2)*n^2 = k(2)*(sn)^2 * [k(1)q^2+k(2)t^2] ,
и видим, что
[k(1)*(pm)^2 + k(2)*(sn)^2] * {k(1)q^2+k(2)t^2} = z^2 (*).
Здесь m,n можно выразить через x,y:
система условий am+bn = x, cm-dn = y
есть adm+bdn = d*x, bcm-bdn = b*y,
откуда (ad+bc)*m = dx+by, и в то же
время acm+bcn = cx, acm-adn = ay,
откуда (ad+bc)*n = cx-ay. Но так как
ad+bc = k(1)pq*sq + k(2)st*pt есть
ps*{k(1)q^2+k(2)t^2} и в то же время
dx+by = sq*x + k(2)st*y = s*{qx+k(2)ty},
cx-ay = pt*x - k(1)pq*y = p*{tx-k(1)qy},
мы приходим к
pm = p*(dx+by)/(ad+bc) = {qx+k(2)ty} / {k(1)q^2+k(2)t^2} ,
sn = s*(cx-ay)/(ad+bc) = {tx-k(1)qy} / {k(1)q^2+k(2)t^2} ,
и строчка (*) приобретает свой обновленный облик
-------------------------------------------------------------------------------------------------
k(1)*{qx+k(2)ty}^2 + k(2)*{tx-k(1)qy}^2 = [z * sqrt{k(1)q^2+k(2)t^2}] ^ 2,
-------------------------------------------------------------------------------------------------
где x^2+k(1)k(2)*y^2 = z^2 решено в ц.ч. без общего множителя.
Когда k(1)*X^2+k(2)*Y^2 = Z^2 разрешимо в целых числах,
достаточно знать пример - и взять из него пару чисел (q,t), -
чтобы возникла формула, приносящая сколько угодно решений.
Этим красивым переходом хотелось поделиться со всеми решателями.