Могут ли досматривать адвоката на входе в различные учереждения

Да.
А вдруг он оружие хочет передать.

Предложить открыть сумку, портфель при входе в СИЗО (например) у адвоката могут на наличие запрещённых предметов. . Эти "несуны" за деньги всё что угодно могут пронести.

а почему нет??- да запросто.. если есть подозрение...

мне кажется адвокат и сам должен это знать, он же права и законы изучает, а так я думаю, что конечно да

после такого обычно в автозак его грузят....

В соответствии с действующим законодательством лица, имеющие статус адвоката, не обладают неприкосновенностью, они не включены в перечень лиц, имеющих право прохода в здание уполномоченного органа без проведения личного досмотра и досмотра находящихся при них вещей.