Предел функции. Помогите пожалуйста !!!. Математика

1)
=(2+2)/(2^2+2*2+4)=4/12=1/3

### Задача №1
\[
\lim_{{x \to -2}} \frac{{x + 2}}{{x^2 + 2x + 4}}
\]
Подставим \(x = -2\):
\[
\frac{{-2 + 2}}{{(-2)^2 + 2(-2) + 4}} = \frac{0}{4 - 4 + 4} = \frac{0}{4} = 0
\]
Итак, \(\lim_{{x \to -2}} \frac{{x + 2}}{{x^2 + 2x + 4}} = 0\).

### Задача №2
\[
\lim_{{x \to \frac{1}{2}}} \frac{{8x^3 - 1}}{{2x - 1}}
\]
Подставим \(x = \frac{1}{2}\):
\[
\frac{{8 \left(\frac{1}{2}\right)^3 - 1}}{{2 \left(\frac{1}{2}\right) - 1}} = \frac{{8 \cdot \frac{1}{8} - 1}}{{1 - 1}} = \frac{{1 - 1}}{{0}} = \frac{0}{0}
\]
Неопределенность, используем правило Лопиталя:
\[
\lim_{{x \to \frac{1}{2}}} \frac{{24x^2}}{{2}} = \frac{{24 \left(\frac{1}{2}\right)^2}}{{2}} = \frac{{24 \cdot \frac{1}{4}}}{2} = \frac{6}{2} = 3
\]
Итак, \(\lim_{{x \to \frac{1}{2}}} \frac{{8x^3 - 1}}{{2x - 1}} = 3\).

### Задача №3
\[
\lim_{{x \to 4}} \frac{{x^2 - x - 12}}{{x^2 - 5x + 4}}
\]
Подставим \(x = 4\):
\[
\frac{{4^2 - 4 - 12}}{{4^2 - 5 \cdot 4 + 4}} = \frac{{16 - 4 - 12}}{{16 - 20 + 4}} = \frac{0}{0}
\]
Неопределенность, используем разложение на множители:
\[
\frac{{(x - 4)(x + 3)}}{{(x - 4)(x - 1)}} = \frac{{x + 3}}{{x - 1}}
\]
Теперь подставим \(x = 4\):
\[
\frac{{4 + 3}}{{4 - 1}} = \frac{7}{3}
\]
Итак, \(\lim_{{x \to 4}} \frac{{x^2 - x - 12}}{{x^2 - 5x + 4}} = \frac{7}{3}\).

### Задача №4
\[
\lim_{{x \to 3}} \frac{{3x^2 - 8x - 3}}{{2x^2 - 5x - 3}}
\]
Подставим \(x = 3\):
\[
\frac{{3 \cdot 3^2 - 8 \cdot 3 - 3}}{{2 \cdot 3^2 - 5 \cdot 3 - 3}} = \frac{{27 - 24 - 3}}{{18 - 15 - 3}} = \frac{0}{0}
\]
Неопределенность, используем разложение на множители:
\[
\frac{{(3x + 1)(x - 3)}}{{(2x + 1)(x - 3)}} = \frac{{3x + 1}}{{2x + 1}}
\]
Теперь подставим \(x = 3\):
\[
\frac{{3 \cdot 3 + 1}}{{2 \cdot 3 + 1}} = \frac{10}{7}
\]
Итак, \(\lim_{{x \to 3}} \frac{{3x^2 - 8x - 3}}{{2x^2 - 5x - 3}} = \frac{10}{7}\).

### Задача №5
\[
\lim_{{x \to 0}} \frac{x}{\sqrt{1 - x} - 1}
\]
Подставим \(x = 0\):
\[
\frac{0}{\sqrt{1 - 0} - 1} = \frac{0}{0}
\]
Неопределенность, используем умножение на сопряженное выражение:
\[
\frac{x(\sqrt{1 - x} + 1)}{(\sqrt{1 - x} - 1)(\sqrt{1 - x} + 1)} = \frac{x(\sqrt{1 - x} + 1)}{1 - x - 1} = \frac{x(\sqrt{1 - x} + 1)}{-x}
\]
Сократим \(x\):
\[
\lim_{{x \to 0}} -(\sqrt{1 - x} + 1) = -(\sqrt{1 - 0} + 1) = -2
\]
Итак, \(\lim_{{x \to 0}} \frac{x}{\sqrt{1 - x} - 1} = -2\).

### Задача №6
\[
\lim_{{x \to 3}} \frac{\sqrt{2x - 2} - 2}{\sqrt{x + 1} - 2}
\]
Подставим \(x = 3\):
\[
\frac{\sqrt{2 \cdot 3 - 2} - 2}{\sqrt{3 + 1} - 2} = \frac{\sqrt{6 - 2} - 2}{\sqrt{4} - 2} = \frac{\sqrt{4} - 2}{2 - 2} = \frac{2 - 2}{0} = \frac{0}{0}
\]
Неопределенность, используем умножение на сопряженные выражения:
\[
\frac{(\sqrt{2x - 2} - 2)(\sqrt{2x - 2} + 2)}{(\sqrt{x + 1} - 2)(\sqrt{x + 1} + 2)} = \frac{(2x - 2 - 4)}{(x + 1 - 4)} = \frac{2x - 6}{x - 3}
\]
Сократим \(x - 3\):
\[
\lim_{{x \to 3}} \frac{2(x - 3)}{x - 3} = 2
\]
Итак, \(\lim_{{x \to 3}} \frac{\sqrt{2x - 2} - 2}{\sqrt{x + 1} - 2} = 2\).

### Задача №7
\[
\lim_{{x \to \infty}} \frac{3x^5 + 5x^4 + 2x^3 + 6x}{4x^5 - 2x + 1}
\]
Для анализа при \(x \to \infty\) выделим старшие члены:
\[
\lim_{{x \to \infty}} \frac{3x^5 (1 + \frac{5}{3x} + \frac{2}{3x^2} + \frac{6}{3x^4})}{4x^5 (1 - \frac{2}{4x^4} + \frac{1}{4x^5})} = \frac{3x^5}{4x^5} = \frac{3}{4}
\]
Итак, \(\lim_{{x \to \infty}} \frac{3x^5 + 5x^4 + 2x^3 + 6x}{4x^5 - 2x + 1} = \frac{3}{4}\).