Помогите со сложной задачей по алгебре

Теперь не один голову ломаешь

Давайте рассмотрим квадратичную функцию ( f(x) = ax^2 + bx + c ). Нам известно, что эта функция обладает двумя свойствами:

1. ( f(x+y) = f(x) + f(y) )
2. ( f(4) = 12 )

Начнем с первого свойства. Подставим ( f(x+y) = a(x+y)^2 + b(x+y) + c ) и разложим:

f(x+y) = a(x+y)^2 + b(x+y) + c = a(x^2 + 2xy + y^2) + b(x + y) + c
f(x+y) = ax^2 + 2axy + ay^2 + bx + by + c

Теперь разложим ( f(x) + f(y) ):

f(x) = ax^2 + bx + c
f(y) = ay^2 + by + c
f(x) + f(y) = ax^2 + bx + c + ay^2 + by + c
f(x) + f(y) = ax^2 + ay^2 + bx + by + 2c

Сравнивая ( f(x+y) ) и ( f(x) + f(y) ), мы видим, что ( c ) должен быть равен нулю, иначе у нас появится лишний член ( 2c ):

ax^2 + 2axy + ay^2 + bx + by + c = ax^2 + ay^2 + bx + by + 2c

Таким образом, ( c = 0 ), и функция упрощается до:

f(x) = ax^2 + bx

Теперь у нас:

f(x+y) = ax^2 + 2axy + ay^2 + bx + by
f(x) + f(y) = ax^2 + bx + ay^2 + by

Условие выполнено, если ( 2axy = 0 ). Это возможно только если ( a = 0 ) или ( x ) и ( y ) всегда равны нулю, что не является общим случаем. Поэтому ( a = 0 ).

Таким образом, функция упрощается до:

f(x) = bx

Но это линейная функция, и для линейной функции условие ( f(x+y) = f(x) + f(y) ) выполняется. Также у нас есть дополнительное условие:

f(4) = 12
b * 4 = 12
b = 3

Итак, квадратичная функция ( f(x) = ax^2 + bx + c ) в данном случае имеет вид ( f(x) = 3x ). Однако это противоречит предположению, что функция квадратичная. Но если пересмотреть начальные условия, данная функция отвечает всем поставленным условиям.

Таким образом, коэффициенты функции:

a = 0
b = 3
c = 0