Чем управляет архиепископ?

пиписками

Финансированием СВО

Тем же чем епископ, только в более крупных приходах

В исторических церквях — почётный титул епископа (архиерея). В ряде поместных православных церквей греческой традиции (кроме Иерусалимской), «архиепископ» — титул (или один из титулов) предстоятеля данной церкви. В Русской церкви данное звание понималось различно в разные эпохи.

Через месяц был назначен новый викарный архиерей, а о преосвященном Петре уже никто не вспоминал. А потом и совсем забыли. И только старуха, мать покойного, которая живет теперь у зятя-дьякона, в глухом уездном городишке, когда выходила под вечер, чтобы встретить свою корову, и сходилась на выгоне с другими женщинами, то начинала рассказывать о детях, о внуках, о том, что у нее был сын архиерей, и при этом говорила робко, боясь, что ей не поверят...
И ей в самом деле не все верили.

Архиепископ это не территориальный глава, а степень в иерархии. Ниже митрополита, но выше епископа