ПОМОГИТЕ ПОЖАЛУЙСТА РЕШИТЬ

Чтобы найти все действительные x, удовлетворяющие данному равенству, нужно преобразовать его:

(1+x+x^2)(1+x+x^2+…+x^10) = (1+x+x^2+…+x^6)^2

Правая сторона равенства представляет собой квадрат суммы первых 7 членов геометрической прогрессии.

Таким образом, уравнение преобразуется в:

(1+x+x^2)(1+x+x^2+…+x^10) = (1+x+x^2+x^3+x^4+x^5+x^6)^2
(1+x+x^2)(1+x+x^2+…+x^10) = (1+x)^2 *(1+x^3)^2 * (1+x^7)^2

Далее требуется учитывать, что умножение выражений равносильно умножению их коэффициентов, свободных от x.

Следовательно, решение нужно искать в корнях получившегося многочлена.

Используя формулу суммы геометрической прогрессии, мы действительно можем упростить равенство и получить:

(1 + x + x^2) * (1 - x^11) / (1 - x) = ((1 - x^7) / (1 - x))^2

Упрощая и решая это уравнение, мы получаем x = 0, -1, а также корни 11-й степени единицы, за исключением 1.

В контексте действительных чисел, x = 0, -1 являются корректными ответами.

(1 + x + x^2) * (1 - x^11) / (1 - x) = ((1 - x^7) / (1 - x))^2
(1+x+x^2)*(1-x)*(1-x^11) = (1-x^7)^2
(1-x^3)*(1-x^11) = (1-x^7)*(1-x^7)
1-x^3 - x^11 = 1-2*x^7
x^11-2*x^7 + x^3 = 0
x^3*(x^8 - 2*x^4 + 1) = 0
x^3*(1-x^4)^2 = 0
x^3*(1-x^2)^2*(1+x^2)^2 = 0
x^3*(1-x)^2*(1+x)^2*(1+x^2)^2 = 0
x = 0, -1, 1