Как доказать , что в окружности вписанный угол в два раза меньше центрального угла , опирающегося на ту же дугу?

Доказательство того, что вписанный угол в два раза меньше центрального угла, опирающегося на ту же дугу, можно разбить на несколько частей:

1. Случай, когда центр окружности лежит на одной из сторон вписанного угла:

• Пусть O - центр окружности, A и B - точки на окружности, образующие дугу, на которую опирается вписанный угол ACB и центральный угол AOB.
• Поскольку угол ACB опирается на дугу AB, то центральный угол AOB тоже опирается на эту же дугу.
• Так как AO = BO (радиусы окружности), то треугольник AOB равнобедренный, следовательно, угол OAB = угол OBA.
• Сумма углов треугольника равна 180 градусов, поэтому: ∠AOB + ∠OAB + ∠OBA = 180°.
• Так как ∠OAB = ∠OBA, то ∠AOB + 2∠OAB = 180°.
• Вписанный угол ACB равен ∠OAB, поэтому: ∠AOB + 2∠ACB = 180°.
• Из этого уравнения следует, что ∠AOB = 180° - 2∠ACB.
• Таким образом, центральный угол AOB в два раза больше вписанного угла ACB.

2. Случай, когда центр окружности лежит внутри вписанного угла:

• Пусть O - центр окружности, A и B - точки на окружности, образующие дугу, на которую опирается вписанный угол ACB и центральный угол AOB.
• Проведите диаметр CD через центр O, так чтобы точки C и D лежали на дуге AB.
• Теперь у нас есть два вписанных угла: ∠ACD и ∠BCD, опирающиеся на дуги AD и BD соответственно.
• По доказанному выше, центральный угол AOD в два раза больше угла ACD, а центральный угол BOD в два раза больше угла BCD.
• Центральный угол AOB = ∠AOD + ∠BOD.
• Вписанный угол ACB = ∠ACD + ∠BCD.
• Следовательно, ∠AOB = 2∠ACD + 2∠BCD = 2(∠ACD + ∠BCD) = 2∠ACB.

3. Случай, когда центр окружности лежит вне вписанного угла:

• Пусть O - центр окружности, A и B - точки на окружности, образующие дугу, на которую опирается вписанный угол ACB и центральный угол AOB.
• Проведите диаметр CD через центр O, так чтобы точки C и D лежали на дуге AB.
• Теперь у нас есть два вписанных угла: ∠ACD и ∠BCD, опирающиеся на дуги AD и BD соответственно.
• По доказанному выше, центральный угол AOD в два раза больше угла ACD, а центральный угол BOD в два раза больше угла BCD.
• Центральный угол AOB = ∠AOD - ∠BOD.
• Вписанный угол ACB = ∠ACD - ∠BCD.
• Следовательно, ∠AOB = 2∠ACD - 2∠BCD = 2(∠ACD - ∠BCD) = 2∠ACB.

Вывод:

В любом из возможных случаев, вписанный угол в два раза меньше центрального угла, опирающегося на ту же дугу.

так это аксиома, это разве надо доказывать?

Мне кажется, что в начале доказываются две теоремы:
Теорема о центральном угле: центральный угол равен градусной мере дуги, на которую он опирается.
Теорема о вписанном угле: вписанный угол измеряется половиной дуги, на которую он опирается.
И следствием этих теорем является утверждение, что "в окружности вписанный угол в два раза меньше центрального угла , опирающегося на ту же дугу"

Угол с вершиной в центре окружности называется ее центральным
углом. Градусной мерой дуги окружности называется величина центрального угла, который соответствует этой дуге. Угол, вершина которого лежит на окружности, а стороны пересекают окружность, называется вписанным углом.


То есть тебе достаточно доказать только то, что вписанный угол равен половине дуги, на которую опирается, доказательство: