Выезд на автобусе из России в Эстонию по паспорту Грузии.

А разве у Грузии и Эстонии есть соглашение на безвиз?

Для поездки в Грузию виза гражданам Эстонии, России, а также обладателям «серых паспортов» не нужна. Въезд в Грузию осуществляется только по паспорту. Дополнительно к паспорту граждане России и обладатели «серых паспортов» должны иметь при себе ИД карту, удостоверяющую вид на жительство в Евросоюзе.
А вот в Эстонию с россйским гражданством не пустят как туриста

Если вы в России находитесь в данный момент как гражданин России (в последний раз въезжали в Россию по российскому паспорту), то при выезде также предъявляете его. Уже при въезде в Эстонию можно предъявить грузинский паспорт.

Гражданин РФ обязан пересекать границу исключительно по паспорту вне зависимости от наличия гражданств других стран.
А вот эстонцам можно показывать грузинский паспорт.

Не можешь. Российские граждане обязаны пересекать границу РФ по российскому же паспорту.

Границы две, российская и эстонская. Российским пограничникам всегда положено предъявлять российский паспорт. Выехать из России по грузинскому не получится, т.к. у приличного грузина там должна быть российская виза. Его можно только показать российскому пограничнику в дополнение к российскому заграну, когда спросит, как будешь въезжать и т.п. Ты, кстати, уведомление о втором гражданстве подавал? Въехать по грузинскому в Эстонию можно попробовать. Хотя эстонцы могут докопаться, писали, что даже по израильскому кого-то из россиян заворачивали.