Вычислите площадь фигуры

3

4,5 квадратных единиц

Чтобы вычислить площадь фигуры, ограниченной графиками функций y = 1 - x² и y = -x - 1, нужно выполнить следующие шаги:
Найти точки пересечения графиков:
Для этого приравняем функции друг другу:
1 - x² = -x - 1
x² - x - 2 = 0
Решая квадратное уравнение, получаем два корня: x₁ = -1, x₂ = 2.
Определить, какая функция ограничивает фигуру сверху, а какая - снизу:
На отрезке [-1; 2] функция y = 1 - x² будет располагаться выше функции y = -x - 1 (это можно проверить, подставив любое значение x из этого интервала).
Вычислить площадь фигуры с помощью определенного интеграла:
Площадь (S) фигуры, ограниченной графиками функций y = f(x) и y = g(x) на отрезке [a; b], где f(x) ≥ g(x), вычисляется по формуле:
S = ∫[a, b] (f(x) - g(x)) dx
В нашем случае:
S = ∫[-1, 2] ((1 - x²) - (-x - 1)) dx = ∫[-1, 2] (2 + x - x²) dx =
= (2x + (x²/2) - (x³/3)) | [-1, 2] = (4 + 2 - (8/3)) - (-2 + (1/2) + (1/3)) = 9/2 = 4.5
Ответ: Площадь фигуры, ограниченной графиками функций y = 1 - x² и y = -x - 1, равна 4.5.