Как решить интеграл?

О, классика пошла. Этот интеграл можно вычислять очень по-разному от использования преобразования Лапласа до дифференцирования под знаком интеграла. Но, скорее всего, вы ждете подход через ТФКП, поэтому будем делать (как обычно) через вычеты.

Введем вспомогательную функцию, которую и будем интегрировать
Теперь рассмотрим контур, идущий вдоль вещественной оси от -R до R, а затем -- по полуокружности, замыкающей этот контур в верхней полуплоскости. Здесь и далее мы подразумеваем, что R достаточно велико, чтобы полюс ik попал внутрь контура.
Теперь попробуем отдельно посчитать интеграл в левой части (конечно же, через вычеты -- как мы любим), а также оценим интеграл по полуокружности. Начнем с первого
Теперь попробуем показать, что интеграл по полуокружности стремится к нулю при стремлении R к плюс бесконечности. Можно было бы применить лемму Жордана, но я сделаю оценку ручками
Честно показать, что последний интеграл правда сходится к нулю, не слишком просто из-за неравномерности сходимости, но я надеюсь, что настолько душнить уже нет необходимости. Так или иначе, мы получаем