ПОМОГИТЕ УМОЛЯЮ ПО ГЕОМЕТРИИ!!! ПЛИИИИЗ

Задание 1 (16 баллов).
• Дано: Отрезок OK, точка P делит OK.
• Доказать: Расстояние между серединами OP и PK равно OK/2.
Доказательство:
1. Обозначим середину OP как M, а середину PK как N.
2. По определению середины отрезка, OP = 2 * OM и PK = 2 * PN.
3. Длина отрезка OK равна сумме длин отрезков OP и PK: OK = OP + PK.
4. Подставим значения из пункта 2: OK = 2 * OM + 2 * PN.
5. Вынесем общий множитель 2 за скобки: OK = 2 * (OM + PN).
6. MN - это расстояние между точками M и N, что равно сумме длин OM и PN: MN = OM + PN.
7. Подставим значение MN в уравнение из пункта 5: OK = 2 * MN.
8. Разделим обе части уравнения на 2: MN = OK / 2.
Что и требовалось доказать.
Задание 2 (16 баллов).
• Дано: Равнобедренный треугольник ABC (AC - основание), BK - биссектриса, BK = 6 см, ∠KBC = 45°.
• Найти: Площадь треугольника ABC.
Решение:
1. В равнобедренном треугольнике биссектриса, проведенная к основанию, является также медианой и высотой. Следовательно, BK ⊥ AC и AK = KC.
2. Треугольник BKC - прямоугольный (∠BKC = 90°), а ∠KBC = 45°, значит, треугольник BKC - равнобедренный и BK = KC = 6 см.
3. AC = AK + KC = 6 см + 6 см = 12 см.
4. Площадь треугольника ABC равна половине произведения основания на высоту: S(ABC) = (1/2) * AC * BK = (1/2) * 12 см * 6 см = 36 см².
Ответ: Площадь треугольника ABC равна 36 см².
Задание 3.
• Дано: Равнобедренный треугольник AMC (AC - основание), AK и CD - медианы.
• Доказать: Треугольники ACD и CAK равны.
Доказательство:
1. В равнобедренном треугольнике медианы, проведенные к боковым сторонам, равны: AK = CD.
2. Медианы треугольника делятся точкой пересечения в отношении 2:1, считая от вершины. Значит, AD = (2/3) * AK и CK = (2/3) * CD.
3. Так как AK = CD, то AD = CK.
4. AC - общая сторона для треугольников ACD и CAK.
5. Таким образом, треугольники ACD и CAK равны по трем сторонам (AC - общая, AD = CK, AK = CD).
Задание 4
• Дано: Треугольник PKL, точки A на PL и B на KL, AL = 15 см, BL = 20 см, PL = 21 см, KL = 28 см, PK = 42 см.
• Найти: Периметр треугольника ABL.
Решение:
1. Найдем длины отрезков AP и BK: AP = PL - AL = 21 см - 15 см = 6 см; BK = KL - BL = 28 см - 20 см = 8 см.
2. Проверим, является ли треугольник PKL подобным треугольнику ABL по пропорциональности сторон: AP/PK = 6/42 = 1/7; BL/KL = 20/28 = 5/7; AL/PL = 15/21 = 5/7.
3. Так как AP/PK ≠ BL/KL = AL/PL, треугольники не подобны.
4. Периметр треугольника ABL равен сумме длин его сторон: P(ABL) = AB + BL + AL.
5. Для нахождения AB воспользуемся теоремой косинусов для треугольника PKL: AB² = AP² + BK² - 2 * AP * BK * cos(∠PKL).
6. cos(∠PKL) можно найти, применив теорему косинусов к треугольнику PKL: KL² = PK² + PL² - 2 * PK * PL * cos(∠PKL).
7. Подставляем известные значения и решаем уравнение относительно cos(∠PKL): cos(∠PKL) = (PK² + PL² - KL²) / (2 * PK * PL) = (42² + 21² - 28²) / (2 * 42 * 21) = 17/28.
8. Подставляем значение cos(∠PKL) в уравнение для AB²: AB² = 6² + 8² - 2 * 6 * 8 * (17/28) = 100/7.
9. Извлекаем квадратный корень, чтобы найти AB: AB = 10/√7.
10. Находим периметр треугольника ABL: P(ABL) = AB + BL + AL = 10/√7 + 20 + 15 = 35 + 10/√7 см.
Ответ: Периметр треугольника ABL равен 35 + 10/√7 см.
Задание 5.
А. (13 баллов)
• Дано: В треугольнике ABC ∠A : ∠B : ∠C = 1 : 2 : 3.
• Найти: Градусные меры углов треугольника ABC, определить вид треугольника.
Решение:
1. Обозначим коэффициент пропорциональности x. Тогда ∠A = x, ∠B = 2x, ∠C = 3x.
2. Сумма углов треугольника равна 180°: x + 2x + 3x = 180°.
3. Решаем : 6x = 180°, x = 30°.
4. Находим градусные меры углов: ∠A = 30°, ∠B = 2 * 30° = 60°, ∠C = 3 * 30° = 90°.
5. Так как один из углов треугольника 90°, то треугольник ABC - прямоугольный.
Ответ: ∠A = 30°, ∠B = 60°, ∠C = 90°, треугольник ABC - прямоугольный.