Решить уравнение в натуральных числах

Оно не имеет решений в натуральных числах

Для решения данного уравнения в натуральных числах необходимо перебрать все возможные значения для n и m.

Рассмотрим сначала левую часть уравнения - факториал n, обозначаемый n!.

1! = 1
2! = 2
3! = 6
4! = 24
5! = 120
6! = 720
7! = 5040
8! = 40320
9! = 362880
10! = 3628800

Видно, что при n = 6, n! = 720, а это значит, что 720 + 25 = 745, а 745 не является квадратом натурального числа.

При n = 7, n! = 5040, а 5040 + 25 = 5065, что также не является квадратом натурального числа.

Продолжая перебор, можем убедиться, что нет ни одного натурального числа n, для которого n! + 25 был бы квадратом натурального числа m.

Таким образом, уравнение n! + 25 = m^2 не имеет решений в натуральных числах.

Такое вначале всегда решается перебором...

 4! + 25 = 49

n = 4, m = 7 

Давайте проанализируем уравнение n! + 25 = m² и попробуем найти решения в натуральных числах.

1. Факториал и остатки:

• Заметим, что n! (факториал числа n) делится на 5 при n больше или равно 5.
• Следовательно, при n больше или равно 5 выражение n! + 25 также делится на 5.

2. Квадраты чисел и остатки:

• Рассмотрим остатки от деления квадратов натуральных чисел на 5:
* 0² = 0 (остаток 0)
* 1² = 1 (остаток 1)
* 2² = 4 (остаток 4)
* 3² = 9 (остаток 4)
* 4² = 16 (остаток 1)
• Видим, что квадрат натурального числа при делении на 5 может давать остатки 0, 1 или 4.

3. Проверка n больше или равно 5:

• Мы выяснили, что при n больше или равно 5 левая часть уравнения (n! + 25) делится на 5.
• Однако правая часть уравнения (m²) при делении на 5 не может давать остаток 0, только 1 или 4.
• Значит, при n больше или равно 5 уравнение n! + 25 = m² не имеет решений в натуральных числах.

4. Проверка n < 5:

Осталось перебрать значения n от 1 до 4:

• n = 1: 1! + 25 = 26 m² (нет решений)
• n = 2: 2! + 25 = 27 m² (нет решений)
• n = 3: 3! + 25 = 31 m² (нет решений)
• n = 4: 4! + 25 = 49 = 7² (есть решение: n = 4, m = 7)

Ответ: Единственное решение уравнения n! + 25 = m² в натуральных числах: n = 4, m = 7.

Ну, чувак, это даже Рамануджан не смог решить
https://www.google.com/url?sa=t&source=web&rct=j&opi=89978449&url=https://www.researchgate.net/profile/Andrzej-Dabrowski-6/publication/322630341_On_the_Diophantine_Equation_x_Ay_2/links/5aaffb9aa6fdcc1bc0be0c54/On-the-Diophantine-Equation-x-Ay-2.pdf&ved=2ahUKEwi2rcS_q_uGAxX5SvEDHZkMCuwQFnoECBYQAQ&usg=AOvVaw2DcYfoi_22cJxHMx6hN4CE