Задача по теории вероятности

1.
Дано: n = 4, p = 0,2
P(X = k) = C(n,k) * p^k * (1-p)^(n-k)
F(x) = P(X < x)
E(X) = n * p = 4 * 0.2 = 0.8 (мат. ожидание)
D(X) = n * p * (1-p) = 4 * 0.2 * 0.8 = 0.64 (дисперсия)

2.
Дано: n = 200, p = 0.015
P(X = k) ≈ (λ^k * e^(-λ)) / k!
где λ = n * p = 200 * 0.015 = 3
P(X = 5) ≈ (3^5 * e^(-3)) / 5! ≈ 0.1008
Ответ: вероятность того, что откажет ровно 5 элементов, приблизительно равна 0.1008 или 10.08%.

Давайте разберем эту задачу по шагам.
Для первой части задачи:
a) Построение ряда распределения:
Это биномиальное распределение с параметрами n = 4 и p = 0,2.
Вероятность k отказов: P(X = k) = C(n,k) * p^k * (1-p)^(n-k)
P(X = 0) = C(4,0) * 0,2^0 * 0,8^4 = 1 * 1 * 0,4096 = 0,4096
P(X = 1) = C(4,1) * 0,2^1 * 0,8^3 = 4 * 0,2 * 0,512 = 0,4096
P(X = 2) = C(4,2) * 0,2^2 * 0,8^2 = 6 * 0,04 * 0,64 = 0,1536
P(X = 3) = C(4,3) * 0,2^3 * 0,8^1 = 4 * 0,008 * 0,8 = 0,0256
P(X = 4) = C(4,4) * 0,2^4 * 0,8^0 = 1 * 0,0016 * 1 = 0,0016
b) Функция распределения:
F(x) = P(X < x)
F(x) = 0, x < 0
0,4096, 0 ≤ x < 1
0,8192, 1 ≤ x < 2
0,9728, 2 ≤ x < 3
0,9984, 3 ≤ x < 4
1, x ≥ 4
c) Математическое ожидание:
E(X) = n * p = 4 * 0,2 = 0,8
d) Дисперсия:
D(X) = n * p * (1-p) = 4 * 0,2 * 0,8 = 0,64
Для второй части задачи:
Здесь мы имеем биномиальное распределение с n = 200 и p = 0,015.
Для оценки вероятности того, что откажет ровно 5 элементов, мы можем использовать формулу Пуассона, так как n большое, а p маленькое.
λ = n * p = 200 * 0,015 = 3
P(X = 5) ≈ (e^(-λ) * λ^5) / 5! = (e^(-3) * 3^5) / 5! ≈ 0,1008
Таким образом, вероятность того, что откажет ровно 5 элементов, приблизительно равна 0,1008 или 10,08%.