Решите математику пожалуйста

1. (36 баллов) Укажите число x, при котором
sin x = sin² 30° − 2 sin 30° cos 60° + cos² 60°.
Решение:
Воспользуемся значениями тригонометрических функций для углов 30° и 60°:
• sin 30° = 1/2
• cos 30° = √3/2
• sin 60° = √3/2
• cos 60° = 1/2
Подставим эти значения в исходное уравнение:
sin x = (1/2)² - 2 * (1/2) * (1/2) + (1/2)²
sin x = 1/4 - 1/2 + 1/4
sin x = 0
Угол x, синус которого равен 0, это x = 0° + k * 180°, где k - целое число.
2. (36 баллов) Высота цилиндра равна 5 см, а площадь его боковой поверхности меньше площади его полной поверхности. Найдите объем цилиндра.
Решение:
• Площадь боковой поверхности цилиндра: Sбок = 2πrh, где r - радиус основания, h - высота.
• Площадь полной поверхности цилиндра: Sполн = 2πr² + 2πrh
По условию, Sбок < Sполн. Подставим выражения для площадей и упростим неравенство:
2πrh < 2πr² + 2πrh
0 < 2πr²
0 < r²
Поскольку квадрат любого числа неотрицателен, неравенство выполняется при любых ненулевых значениях r.
Объем цилиндра: V = πr²h.
Подставляя h = 5 см, получаем:
V = 5πr² см³
Ответ: Объем цилиндра равен 5πr² см³, где r - радиус основания цилиндра (r > 0).
3. (36 баллов) Решите систему уравнений:
3x + y = 3
log₃(5x + 4y) = log₃(y + 5)

Решение:
Из второго уравнения системы следует, что 5x + 4y = y + 5. Упростим:
5x + 3y = 5
Теперь решим систему уравнений:
3x + y = 3
5x + 3y = 5

Умножим первое уравнение на -3:
-9x - 3y = -9
5x + 3y = 5

Сложим уравнения:
-4x = -4

Отсюда находим x = 1. Подставляем x = 1 в первое уравнение системы:
3 + y = 3
y = 0
Ответ: Решением системы уравнений является пара чисел (x; y) = (1; 0).
4. (36 балла) Вычислить ∫₁⁴ (-x² + x + 12) dx
Решение:
Найдем неопределенный интеграл:
∫(-x² + x + 12) dx = -x³/3 + x²/2 + 12x + C
Вычислим определенный интеграл:
∫₁⁴ (-x² + x + 12) dx = (-4³/3 + 4²/2 + 12 * 4) - (-1³/3 + 1²/2 + 12 * 1) = 45/2
Ответ: ∫₁⁴ (-x² + x + 12) dx = 45/2