Простая геометрическая задача.

все описанные и вписанные окружности
принадлежащие любому равноб. треуг.
симметричны отн. основания
основание всегда перпенд. диаметру, перес. вершину

Для доказательства этого факта нужно воспользоваться свойствами равнобедренного треугольника и основного свойства биссектрисы угла.

Пусть дан равнобедренный треугольник ABC, где AB=AC. Пусть BD - биссектриса угла при основании, а BE - биссектриса угла при вершине, пересекающаяся с основанием в точке E.

Из условия задачи известно, что длина биссектрисы угла при вершине BE равна половине длины биссектрисы угла при основании, то есть BD = 2BE.

Теперь докажем, что центры вписанной и описанной окружностей симметричны относительно основания треугольника.

Пусть I - центр вписанной окружности, O - центр описанной окружности треугольника ABC. Точка пересечения биссектрисы BD и медианы AM треугольника ABC обозначается как P.

Сначала докажем, что точка P, являющаяся точкой пересечения биссектрисы и медианы, является также центром вписанной окружности треугольника ABC.

Из свойств биссектрисы угла следует, что угол ABP = угол PBC, угол ACP = угол PCB. Таким образом, треугольник ABP подобен треугольнику ACP, значит, BP/PC = AB/AC = 1.

Таким образом, точка P является центром вписанной окружности треугольника ABC.

Теперь докажем, что центр описанной окружности треугольника ABC O лежит на отрезке AP.

Из свойств медианы треугольника ABC следует, что точка O, являющаяся центром описанной окружности, лежит на медиане, и делит её в отношении 2:1, то есть AP/PM = 2.

Таким образом, центры вписанной и описанной окружностей треугольника ABC лежат на одной линии, и, учитывая равенство BD = 2BE, центры I и O симметричны относительно основания треугольника.