Докажите "НЕРАВЕНСТВО" ????

Я тут промежду делом придумал "школьное" доказательство для этого неравенства.
Сначала три вспомогательных утверждения:
1) cos x·cos y=(√(cos x·cos y))²⩽(AM-GM)⩽(½·cos x+½·cos y))²⩽ (Йенсен)⩽cos²(½·(x+y))
2) cos x·cos y·(tg x+tg y)=sin x·cos y+sin y·cos x = =sin(x+y)=sin(2·½·(x+y)=2·sin(½·(x+y))·cos(½·(x+y))=2·cos²(½·(x+y))·tg(½·(x+y))=cos(½·(x+y))·cos(½·(x+y))(tg(½·(x+y))+tg(½·(x+y)))
3) Теперь собственно утверждение, ради которого были первые два пункта.
Для любых A,B ⩾0
A·cos x·cos y·(B+tg x+tg y)=A·B·cos x·cos y+A·cos x·cos y·(tg x+tg y) ⩽A·B·cos²(½·(x+y))+A·2·cos²(½·(x+y))·tg(½·(x+y))=
=A·cos²(½·(x+y))·(B+2·tg(½·(x+y)))
4) Из утверждения (3) в частности следует, что если в произвольном наборе {xᵢ} имеется хотя бы одна пара xₘ≠xₙ, то левую часть исходного неравенства всегда можно оценить сверху левой частью с набором переменных, где xₘ и xₙ заменены их полусуммой ½·(xₘ+xₙ)
5) А значит, максимум левой части, будь то достижимое наибольшее значение или недостигаемый супремум можно и нужно искать по подмножеству наборов равных значений {xᵢ}
6) Таким образом, задача сводится к нахождению максимума функции f(x)=n·cosⁿ x·tg x, 0⩽x<π/2
7) Если мы категорически не хотим использовать производную, то рассмотрим функцию g(t)=a·cos t·(b+tg t), a<1,b>0
g(t)=a·(b·cos t+sin t)⩽a·√(b²+1)·sin(t+arccos(1/(√(b²+1)))
Очевидно, что g(t) достигает максимума при t+arccos(1/(√(b²+1))=π/2, т.е. t=arcsin(1/(√(b²+1))=arctg(1/b)
8) Левую часть исходного неравенства всегда можно рассматривать, как значение функции g(t) при t= xᵢ для произвольного i
9) При этом, если максимум левой части достигается в какой то точке n-мерного пространства, то для любого индекса i, соответствующая функция g(xᵢ) также должна иметь максимальное значение, иначе получим противоречие.
10) Поскольку все xᵢ у нас необходимостью равны( обозначим их значения какой нибудь другой буквой, например Х), то найти X можно из уравнения:
X=arctg(1/(b)=arctg(1/(n-1)·tg X) или tg²X=1/(n-1)
Тогда cos²X=1/(tg²X+1)=(1-1/n)ⁿ, cos X=√((1-1/n)ⁿ)
11) Если теперь подставим эти значения cos X и tg X в f(x)=n·cosⁿ x·tg x из пункта (6), то получим в точности выражение из правой части исходного неравенства.
12) Есть, однако один скользкий момент во второй части док-ства, но я не буду его касаться, а ты не заметишь, да и вообще мало кто заметит. Суть в том, что мы провели доказательство в предположении, что максимум достижим. А строго говоря, при использованном подходе (без производной) мы этого не знаем. Это можно обойти и доказать желаемое, сделав лёгкий технический финт, но тогда все равно придется сослаться на товарища Вейерштрасса с его компактами. Но тогда это уже не школьные методы.