(ax+b)^2+(cx+d)^2 - выделить полный квадрат NN

Чтобы выделить полный квадрат NN из выражения \((ax + b)^2 + (cx + d)^2\), мы можем рассмотреть несколько случаев в зависимости от значений коэффициентов \(a\) и \(c\). Ниже мы рассмотрим более общий подход.

### Шаг 1: Раскрытие скобок
Рассмотрим выражение:
\[
(ax + b)^2 + (cx + d)^2
\]

Раскроем скобки:
\[
(ax + b)^2 = a^2x^2 + 2abx + b^2
\]
\[
(cx + d)^2 = c^2x^2 + 2cdx + d^2
\]

Сложим эти два выражения:
\[
(ax + b)^2 + (cx + d)^2 = a^2x^2 + 2abx + b^2 + c^2x^2 + 2cdx + d^2 = (a^2 + c^2)x^2 + (2ab + 2cd)x + (b^2 + d^2)
\]

### Шаг 2: Выделение полного квадрата
Для выделения полного квадрата из выражения \((a^2 + c^2)x^2 + (2ab + 2cd)x + (b^2 + d^2)\), воспользуемся следующим трюком.

Обозначим:
\[
A = a^2 + c^2
\]
\[
B = 2ab + 2cd
\]
\[
C = b^2 + d^2
\]

Теперь попробуем переписать выражение \(Ax^2 + Bx + C\) в виде полного квадрата:
\[
Ax^2 + Bx + C = A \left( x^2 + \frac{B}{A}x \right) + C
\]

Далее, чтобы выделить полный квадрат внутри скобок, добавим и вычтем нужное нам число:
\[
x^2 + \frac{B}{A}x = \left(x + \frac{B}{2A}\right)^2 - \left(\frac{B}{2A}\right)^2
\]

Тогда выражение станет:
\[
A \left( x^2 + \frac{B}{A}x \right) = A \left( \left(x + \frac{B}{2A}\right)^2 - \left(\frac{B}{2A}\right)^2 \right)
\]
\[
= A \left(x + \frac{B}{2A}\right)^2 - A \left(\frac{B}{2A}\right)^2
\]

Теперь добавим оставшийся член \(C\):
\[
Ax^2 + Bx + C = A \left(x + \frac{B}{2A}\right)^2 - A \left(\frac{B}{2A}\right)^2 + C
\]

### Шаг 3: Сборка финального выражения
Соберем все вместе:
\[
(ax + b)^2 + (cx + d)^2 = A \left(x + \frac{B}{2A}\right)^2 + C - A \left(\frac{B}{2A}\right)^2
\]

Итак, полный квадрат NN в данном выражении:
\[
NN = \left( x + \frac{2ab + 2cd}{2(a^2 + c^2)} \right)^2
\]

Финальное выражение будет:
\[
NN = \left(x + \frac{ab + cd}{a^2 + c^2}\right)^2
\]

Или, подставив обратно:
\[
\left(x + \frac{2ab + 2cd}{2(a^2 + c^2)}\right)^2
\]

Таким образом, выражение будет представлено как:
\[
(ax + b)^2 + (cx + d)^2 = (a^2 + c^2) \left(x + \frac{ab + cd}{a^2 + c^2}\right)^2 + \left(b^2 + d^2 - \frac{(2ab + 2cd)^2}{4(a^2 + c^2)}\right)
\]

Таким образом, мы выделили полный квадрат \(NN\) в данном выражении.