Считать ли слово "твиттер" архаизмом?

Лет через 50 -- считайте.

архаизм - это слово, которое устарело. чело, ланиты, десница, перст, дщерь, сродец, аз , дабы и т.п. УСтаревшее слово, которое в современности заменено синонимом.

А твиттер это современная соц. сеть;)

Считать ли кошку собакой?

Скорее неологизмом.

Считай самим собой, так оно надежнее.

Архаизм в лингвистике — это слово или выражение, ВЫШЕДШЕЕ из употребления в современном языке и ЗАМЕНЕННОЕ другими словами.
Переименование компании или бренда не делает предыдущее название архаизмом, особенно если оно остаётся узнаваемым и употребляемым в разговорной речи и исторических контекстах. Twitter нельзя считать архаизмом по ряду причин:

• Переименование компании произошло недавно, и многие люди продолжают использовать старое название из привычки или удобства.
• Twitter был важной частью интернет-культуры и сыграл значительную роль в истории социальных сетей, поэтому его название останется в памяти людей.
• В течение какого-то времени пользователи и СМИ могут продолжать использовать оба названия, пока новое название не станет более распространённым.
• Название Twitter продолжает существовать в многочисленных статьях, книгах, документах и других источниках, что сохраняет его в активном употреблении.

Пользователи по-прежнему обмениваются твитами, а не "иксами".