Почему слово путешествие по слогам разделяется так?

Потому что я так сказал

Слогоделение в русском языке основано на фонетическом принципе, то есть на том, как звучит слово, а не на том, как оно пишется. В слове "путешествие" согласный звук [т] относится к предыдущему слогу, потому что он звонкий, а последующий звук [в] - глухой.
Правило очень простое: звонкие согласные тяготеют к предыдущему слогу, глухие - к последующему. Это фонетическое явление, которое вы, видимо, пропустили в школе, увлеченно ковыряясь в носу.

ПутЕшествие или путИшествие?

Это слогоделение с позиции какой теории? Теорий слога много, к тому же есть прикладное слогоделение, которое используется чисто для переноса и не совпадает с фонетическими слогами. С точки зрения сонорной теории слога правильно будет пу-те-ше-стви-е

пут - корень
е — соединительная гласная
ше — корень
ств, и — суффиксы
е — окончание
не хотят рвать суффикс ств