Условия сравнения даты из input?

Интерпретатор JavaScript не понимает, что у тебя там дата указана. Для него это строка.
Сравнивать, что больше — одна строка или другая, это ошибка. У строки нет какого-то числового значения.

В JS есть встроенный объект для работы со временем — Date.
Используй парсинг даты из строки, чтобы получить объект Date и сравнивай его с определённых методов, которые ты найдёшь в документации.

По моему, простейший способ:

 if(Date.parse(dateHired) < Date.parse('2015-01-01')){
  // твой код
} 

Время в устройствах выражается в пройдённых миллисекунд начиная с 1970-01-01. Date.parse() преобразует дату в эти миллисекунды. У меня в браузере формат YYYY-MM-DD по умолчанию, но возможно он может отличатся в зависимости от твоего региона, я не уверен. YYYY-MM-DD вроде как международный, судя по инфе в интернете.

Не понятно что ты там конкретно пытаешься сравнить. Поменял лишь название переменной на более соответствующее.

 if(dateHired < '2015-01-01'){ 
  // твой код 
}