$name = "admin";
и тут же проверять: if (($name == "admin") .....
Если сами присвоили переменную строке "admin" и больше ничего с ней не делали, то она в любом случае будет == "admin". Возможно, вы хотели сравнивать с тем, что ввёл пользователь, но тогда нужно как-то так: $name = $_POST["name"] ?? "";
И в HTML-коде этому полю присвоить аттрибут name="name".
вот скрипт
1 <?php
2 session_start();
3 $name = "admin";
4 $password = "12345";
5 if ($_POST['send']) {
6 if(($name == "admin") && ($password == "12345")) {
7 echo "Всё верно, выполняется вход";
8 $_SESSION['admin_example'] = '...'
9 echo "<html> <meta http-equiv="Refresh" content="adminpanel.php"> <body> </body> </html>"
10 }
11 else
12 echo "Что-то не верно";
13 ?>
<!DOCTYPE HTML>
<link href="vhod-admin-css.css" rel="stylesheet" type="text/css">>
<form method="POST">
<h1 id="ph-1"> Имя: </h1>
<input required placeholder="Имя..." type="text" id="name">
<h1 id="ph-2"> Пароль: </h1>
<input required placeholder="Пароль..." type="text" id="password">
<input type="submit" id="send">
</form>