Опека имеет права разменивать квартиру государственую

Да

Государственную да
Приватизированную нет
Но только в крайнем случае, если создаётся угроза нормальной жизни при существовании там

отдел опеки может инициировать и ходатайствовать. сами операции с госнедвижимостью будут производиться по решению суда