Помогите с дз

Для решения задачи используем следующие шаги:

### Шаг 1: Найдем координаты вершины параболы и построим график функции.
Функция $y = x^2 + 4x + 7$ является квадратичной функцией с положительным коэффициентом при $x^2$, что означает, что она представляет собой параболу, открытую вверх. Вершина такой параболы находится в точке, где производная равна нулю. Продифференцируем функцию:

$$ y' = 2x + 4 $$

Приравняв $y'$ к нулю, получим $x_v = -\frac{4}{2} = -2$. Подставим это значение в уравнение функции для получения $y$-координаты вершины:

$$ y(-2) = (-2)^2 + 4 \cdot (-2) + 7 = 4 - 8 + 7 = -1 $$

Таким образом, вершина параболы имеет координаты $(-2; -1)$. Теперь мы можем построить график функции, зная, что он представляет собой параболу с вершиной в этой точке.

### Шаг 2: Найдем промежуток возрастания функции.
Найдем производную функции $y=x^2+6x-5$:

$$ y' = 2x + 6 $$

Условие возрастания функции: $y'>0$, т.е. $2x + 6 > 0$. Решим неравенство:

$$ 2x > -6 $$

$$ x > -3 $$

Значит, функция возрастает на промежутке $(-\infty ; -3]$.

### Шаг 3: Область значений функции.
Коэффициент при $x^2$ равен 1, поэтому минимум функции будет достигаться в вершине параболы, которую мы уже нашли. Минимальное значение равно $-1$. Максимальное значение теоретически может быть любым числом больше этого минимума, так как функция возрастает бесконечно. Таким образом, область значений функции $Y = (-\infty; +\infty)$.

### Шаг 4: Параметры параболы и расположение оси абсцисс.
Параметры параболы $y = ax^2 + bx + c$ даны как $a = 9$, $b = 3$, $c = 1$. Построим параболу по этим параметрам. Ось абсцисс пересекает параболу в точках, где $y = 0$, то есть решая уравнение $ax^2 + bx + c = 0$. В данном случае это $9x^2 + 3x + 1 = 0$. Дискриминант этого квадратного уравнения $D = b^2 - 4ac = 3^2 - 4 \cdot 9 \cdot 1 = -9 < 0$, следовательно, корней нет, и ось абсцисс не пересекает параболу.

### Шаг 5: Расстояние между путями функций.
Пути функций заданы как $y = 2x^2 - 3x - 4$ и $y = x^2 + 4x + 7$. Для определения расстояния между ними подставим $x = 0$ и $x = 1$ в каждую функцию и найдем соответствующие значения $y$:

$$ f(0) = 2 \cdot 0^2 - 3 \cdot 0 - 4 = -4 $$

$$ g(0) = 0^2 + 4 \cdot 0 + 7 = 7 $$

$$ f(1) = 2 \cdot 1^2 - 3 \cdot 1 - 4 = -5 $$

$$ g(1) = 1^2 + 4 \cdot 1 + 7 = 12 $$

Теперь можно найти расстояние между двумя путями как разность соответствующих значений $y$:

$$ d(0) = |g(0) - f(0)| = |7 - (-4)| = 11 $$

$$ d(1) = |g(1) - f(1)| = |12 - (-5)| = 17 $$