Кот дёргается во сне.

Да ему просто снится сон

во сне мышь ловит

Норма абсолютная. Значит во сне бежит.

Мой тоже так делает, читал что это нормально

Сон снится

у меня и у кота и у 2-х собак так - им просто снятся сны и они в них бегают/играют/дерутся

Радуйся, что он вообще есть

Был недавно такой забавный случай с моим котом, захоху в комнату, кот спит на диване, слегка хлопнул дверью -- кот подпргиват, ударается о потолок, падарт на диван и в ужате смотрит на меня. Что-то такое ему приснилось...

сон ему снится, бегает, охотится