Могу ли я потребовать директора характеристики ученика школы для заявления в полицию?

да, но могу потребовать обоснования и прочие вопросы будут

если только характеристику на своего ребенка

Для заявления в полицию это не нужно. Полиция сама затребует все, что надо.

Можешь, конечно.
А он тебе может никаких характеристик не давать.
Полная свобода.

Нет, откуда у вас такое право вдруг появилось. Школа предоставит характеристику если будет официальный запрос

Требовать вы можете всё, что вам угодно, но если вы не являетесь законным представителем ребёнка, то директор вас просто пошлёт далеко, на каком основнии то какой то тётке с улицы предоставлять информацию о чужом ребенке

Вы только вправе просить документы на своего ребёнка обучающегося в данной школе, а все остальные документы по другим фигурантам полиция и так запросит при проведении проверки или расследовании уголовного дела.

Кто такой «директор характеристики» и у кого вы хотите его потребовать?

будет заявление, полиция без вас потребует.