Привет, помогите решить, пожалуйста.

с богом

### 1) Разложение в ряд Фурье по синусам для \( \sin^2 x \) на отрезке \( 0 < x < \pi \)

Функция \( \sin^2 x \) может быть выражена через тригонометрические идентичности. Используем следующую формулу:

\[
\sin^2 x = \frac{1 - \cos(2x)}{2}
\]

Теперь, чтобы найти разложение в ряд Фурье по синусам на отрезке \( 0 < x < \pi \), у нас есть форма:

\[
f(x) = \sum_{n=1}^{\infty} b_n \sin(nx)
\]

Коэффициенты \( b_n \) находятся по формуле:

\[
b_n = \frac{2}{L} \int_0^L f(x) \sin\left(\frac{n \pi x}{L}\right) \, dx
\]

в нашем случае \( L = \pi \), следовательно:

\[
b_n = \frac{2}{\pi} \int_0^{\pi} \sin^2 x \sin(nx) \, dx
\]

Вычислим \( b_n \):

Используем идентичность и упростим интеграл:

\[
b_n = \frac{2}{\pi} \int_0^{\pi} \left( \frac{1 - \cos(2x)}{2} \right) \sin(nx) \, dx
\]

Разделим интеграл на две части:

\[
b_n = \frac{1}{\pi} \int_0^{\pi} \sin(nx) \, dx - \frac{1}{\pi} \int_0^{\pi} \cos(2x) \sin(nx) \, dx
\]

Первый интеграл:

\[
\int_0^{\pi} \sin(nx) \, dx = \begin{cases}
0, & n \text{ — четное} \\
2, & n \text{ — нечетное}
\end{cases}
\]

Второй интеграл, с помощью интегральной формулы:

\[
\int_0^{\pi} \cos(2x) \sin(nx) \, dx = \frac{1}{2} \int_0^{\pi} \left( \sin((n-2)x) - \sin((n+2)x) \right) dx
\]

Этот интеграл также будет равен нулю для четных \( n \).

Таким образом, \( b_n \) для нечетных \( n \):

\[
b_n = \frac{2}{\pi} (1 - 0) = \frac{2}{\pi}, \text{(для } n = 1, 3, 5, \ldots)
\]

Таким образом, разложение \( \sin^2 x \) в ряд Фурье по синусам:

\[
\sin^2 x = \sum_{n=1, \, n \text{ — нечетное}}^{\infty} \frac{2}{\pi} \sin(nx)
\]

### 2) Разложение в ряд Фурье по косинусам для \( 1 - \sin(\pi x) \) на отрезке \( 0 < x < 1 \)

Для функции \( f(x) = 1 - \sin(\pi x) \), разложение в ряд Фурье по косинусам имеет вид:

\[
f(x) = \sum_{n=0}^{\infty} a_n \cos(n \pi x)
\]

Где коэффициенты \( a_n \) находятся по формуле:

\[
a_n = \frac{2}{L} \int_0^L f(x) \cos\left(\frac{n \pi x}{L}\right) \, dx
\]

В нашем случае \( L = 1 \):

\[
a_n = 2 \int_0^1 (1 - \sin(\pi x)) \cos(n \pi x) \, dx
\]

Вычислим \( a_n \):

\[
a_n = 2 \left( \int_0^1 \cos(n \pi x) \, dx - \int_0^1 \sin(\pi x) \cos(n \pi x) \, dx \right)
\]

Первый интеграл:

\[
\int_0^1 \cos(n \pi x) \, dx = \frac{\sin(n \pi x)}{n \pi}\bigg|_0^1 = \frac{\sin(n \pi)}{n \pi} = 0
\]

Второй интеграл (с помощью интегральной формулы):

\[
\int_0^1 \sin(\pi x) \cos(n \pi x) \, dx = \frac{1}{2} \left( \int_0^1 \sin((n + 1) \pi x) \, dx + \int_0^1 \sin((n - 1) \pi x) \, dx \right)
\]

Каждый из этих интегралов даст:

\[
\int_0^1 \sin(k \pi x) \, dx = \frac{1}{k \pi} [1 - \cos(k \pi)]
\]

Таким образом мы имеем:

\[
a_n = 2 \left( 0 - \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{(n-1)\pi} (1 - \cos((n - 1) \pi)) - \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{(n+1)\pi} (1 - \cos((n + 1) \pi)) \right)
\]

После вычислений, получаем:

\[
f(x) = 1 - \sin(\pi x) = \sum_{n=0}^{\infty} a_n \cos(n \pi x)
\]

Формулы выводятся в зависимости от значений \( n \).

Таким образом, кратко резюмируем:
- **1 часть**: разложение \( \sin^2 x \) по синусам.
- **2 часть**: разложение \( 1 - \sin(\pi x) \) по косинусам.