Лермонтовский пишется с заглавной буквы

Смотря про что.
Если имя собственное, например, название вокзала какого-нибудь, то Лермонтовский. Если нарицательное, то лермонтовский (рассказ)

Да, прилагательное «лермонтовский» пишется с заглавной буквы, если является первым словом в официальном названии, например: «Лермонтовские чтения».

В остальных случаях, когда прилагательное образовано от имени, фамилии или клички при помощи суффикса -ск-, его следует писать со строчной буквы.