Алгебра, системы уравнений

методом Гаусса быстрее всего.
алгоритм:
записываете расширенную матрицу системы, методами элементарных преобразований приводите основную матрицу к единичной (не забывая делать преобразования и со столбцом, что рядом). тогда столбец и будет решением

Метод Крамера.
алгоритм:
считаем определитель матрицы системы.
называем его Δ.
считаем определитель Δ_x, который получается из Δ путем замены коэффициентов при x на свободные коэффициенты (то есть те что после знака "=" )
считаем определитель Δ_y (по аналогии получается из Δ, только меняем коэффициенты при y)
считаем определитель Δ_z (по той же схеме)

тогда x= Δ_x / Δ
y= Δ_y / Δ
z= Δ_z / z

Метод обратной матрицы.
общий вид A*X=b
A- матрица системы
X- вектор-столбец неизвестных
b- вектор-столбец свободных членов

решение выглядит так
X=A^-1 *b
A^-1 - это обратная матрица к матрице A

сложность этого метода в том, что сначала нужно искать обратную матрицу
а потом не запутаться при перемножении

Решение системы уравнений тремя способами:
Система уравнений:

7x - 5y = 31
4x + 11z = -43
2x + 3y + 4z = -20
1) Метод Гаусса:

Запишем систему в матричном виде:

[ 7 -5 0 | 31 ]
[ 4 0 11 | -43 ]
[ 2 3 4 | -20 ]
Приведем матрицу к ступенчатому виду:

Делим первую строку на 7:

[ 1 -5/7 0 | 31/7 ]
[ 4 0 11 | -43 ]
[ 2 3 4 | -20 ]
Вычитаем из второй строки первую строку, умноженную на 4:

[ 1 -5/7 0 | 31/7 ]
[ 0 20/7 11 | -257/7 ]
[ 2 3 4 | -20 ]
Вычитаем из третьей строки первую строку, умноженную на 2:

[ 1 -5/7 0 | 31/7 ]
[ 0 20/7 11 | -257/7 ]
[ 0 29/7 4 | -162/7 ]
Делим вторую строку на 20/7:

[ 1 -5/7 0 | 31/7 ]
[ 0 1 77/20 | -257/20 ]
[ 0 29/7 4 | -162/7 ]
Вычитаем из третьей строки вторую строку, умноженную на 29/7:

[ 1 -5/7 0 | 31/7 ]
[ 0 1 77/20 | -257/20 ]
[ 0 0 -129/20 | -129/20 ]
Делим третью строку на -129/20:

[ 1 -5/7 0 | 31/7 ]
[ 0 1 77/20 | -257/20 ]
[ 0 0 1 | 1 ]
Вычитаем из второй строки третью строку, умноженную на 77/20:

[ 1 -5/7 0 | 31/7 ]
[ 0 1 0 | -4 ]
[ 0 0 1 | 1 ]
Прибавляем к первой строке вторую строку, умноженную на 5/7:

[ 1 0 0 | 3 ]
[ 0 1 0 | -4 ]
[ 0 0 1 | 1 ]
Получаем решение:

x = 3
y = -4
z = 1
2) Формулы Крамера:

Найдем определитель матрицы коэффициентов:

D = | 7 -5 0 |
| 4 0 11 |
| 2 3 4 |

D = 7 * (0 * 4 - 11 * 3) - (-5) * (4 * 4 - 11 * 2) + 0 * (4 * 3 - 0 * 2) = -129
Найдем определители матриц, полученных заменой i-го столбца матрицы коэффициентов на столбец свободных членов:

Dx = | 31 -5 0 |
| -43 0 11 |
| -20 3 4 |

Dx = 31 * (0 * 4 - 11 * 3) - (-5) * (-43 * 4 - 11 * -20) + 0 * (-43 * 3 - 0 * -20) = -387

Dy = | 7 31 0 |
| 4 -43 11 |
| 2 -20 4 |

Dy = 7 * (-43 * 4 - 11 * -20) - 31 * (4 * 4 - 11 * 2) + 0 * (4 * -20 - 2 * -43) = 516

Dz = | 7 -5 31 |
| 4 0 -43 |
| 2 3 -20 |

Dz = 7 * (0 * -20 - 3 * -43) - (-5) * (4 * -20 - 2 * -43) + 31 * (4 * 3 - 0 * 2) = -129
Найдем решение:

x = Dx / D = -387 / -129 = 3
y = Dy / D = 516 / -129 = -4
z = Dz / D = -129 / -129 = 1
3) Матричный способ:

Запишем систему в матричном виде:

A * X = B
где:

A - матрица коэффициентов:

[ 7 -5 0 ]
[ 4 0 11 ]
[ 2 3 4 ]
X - вектор неизвестных:

[ x ]
[ y ]
[ z ]
B - вектор свободных членов:

[ 31 ]
[ -43 ]
[ -20 ]
Найдем обратную матрицу A⁻¹:

A⁻¹ = 1/D * adj(A)
D - определитель матрицы A, который мы уже нашли ранее (D = -129).
adj(A) - присоединенная матрица A.
adj(A) = | 0 -44 55 |
| 44 28 -28 |
| -15 19 -20 |
A⁻¹ = 1/-129 * | 0 -44 55 |
| 44 28 -28 |
| -15 19 -20 |
Найдем решение:

X = A⁻¹ * B
[ x ] = 1/-129 * | 0 -44 55 | * [ 31 ]
[ y ] | 44 28 -28 | [ -43 ]
[ z ] | -15 19 -20 | [ -20 ]
[ x ] = [ 3 ]
[ y ] = [ -4 ]
[ z ] = [ 1 ]
Результат:

Во всех трех способах решения мы получили одинаковый ответ:

x = 3
y = -4
z = 1