Люди, хорошо знающие английский

Май вайф ис йор мам

old lady

Old man (men) / Old woman (women) - там подобная "прямота" не считается признаком неуважения

Old lady - это про свою жену, девушку или мать. Подтверждение легко найти в словаре: Some men refer to their wife, girlfriend, or mother as their old lady. [INFORMAL - разг.] Пример: He had met his old lady when he was a house painter and she was a waitress.

"Моя соседка-бабушка" лучше передать так: An elderly lady in my neighborhood (или from next door). "Бабушки сидят на скамейке" - Elderly women/ladies sitting on a bench.
Old - слишком прямолинейно с точки зрения иностранцев, которые склонны к политкорректности, хотя в кино или в литературе можно встретить и другие выражения. Тем не менее elderly передает более уважительный оттенок (You use elderly as a polite way of saying that someone is old. - CollinsCobuild).
The next-door granny тоже подходит, но только если подразумеваются теплые отношения, а не просто шапочное знакомство. В этом случае она может быть чьей-то бабушкой, но для говорящего она как родная.