Практикум математика 5-7 класс

Обозначим:

- \( v_b \) — собственная скорость лодки (в км/ч).
- \( v_t \) — скорость течения реки (в км/ч).

Из условия задачи:

- По течению лодка двигалась со скоростью \( v_b + v_t \).
- Против течения лодка двигалась со скоростью \( v_b - v_t \).
- Скорость лодки по течению в два раза больше, чем против течения: \( v_b + v_t = 2(v_b - v_t) \).

Также известно, что лодка проплыла 50 км за 5 часов (3 часа против течения и 2 часа по течению).

1. Составим уравнение для времени, которое лодка потратила на движение:

\[
\frac{3}{v_b - v_t} + \frac{2}{v_b + v_t} = 5.
\]

2. Теперь используем условие, что скорость лодки по течению в два раза больше, чем против течения:

\[
v_b + v_t = 2(v_b - v_t).
\]

Решим систему этих уравнений.

Из уравнения \( v_b + v_t = 2(v_b - v_t) \), раскроем скобки и упростим:

\[
v_b + v_t = 2v_b - 2v_t.
\]

Переносим все переменные на одну сторону:

\[
v_b + v_t - 2v_b + 2v_t = 0,
\]
\[
-v_b + 3v_t = 0,
\]
\[
v_b = 3v_t.
\]

Теперь подставим \( v_b = 3v_t \) в уравнение для времени:

\[
\frac{3}{v_b - v_t} + \frac{2}{v_b + v_t} = 5.
\]

Подставляем \( v_b = 3v_t \):

\[
\frac{3}{3v_t - v_t} + \frac{2}{3v_t + v_t} = 5,
\]
\[
\frac{3}{2v_t} + \frac{2}{4v_t} = 5.
\]

Теперь приведем дроби к общему знаменателю:

\[
\frac{3}{2v_t} + \frac{1}{2v_t} = 5,
\]
\[
\frac{4}{2v_t} = 5,
\]
\[
\frac{2}{v_t} = 5,
\]
\[
v_t = \frac{2}{5} = 0.4 \, \text{км/ч}.
\]

Теперь, зная \( v_t = 0.4 \), можем найти \( v_b \):

\[
v_b = 3v_t = 3 \times 0.4 = 1.2 \, \text{км/ч}.
\]

Ответ:

- Собственная скорость лодки \( v_b = 1.2 \, \text{км/ч} \).
- Скорость течения реки \( v_t = 0.4 \, \text{км/ч} \).