Можно ли уволиться с работы, в период больничного?

Да

Нет, только после больничного, выздоровления...

А смысл? В период больничного можно подать заявление на увольнение, ст. 80 УК РФ.

Можно, если нужно. Запрещено только увольнение по инициативе работодателя

Конечно, можно. Пишите заявление за 2 недели до даты увольнения, и даже если в день увольнения вы на больничном будете, это не является препятствием для увольнения

Можно. Но работодатель для подстраховки уволит после закрытия больничного.

а какая разница?

Подать заявление об увольнении вы можете в любой момент, в т.ч., находясь на больничном, но вот расторжение трудового договора будет после окончания периода временной нетрудоспособности.

Люди так и делают

Конечно, можно. По инициативе работодателя нельзя, а по инициативе работника - пожалуйста.