Помогите, пожалуйста, решить 9 номер

Решение задачи 9
Постановка задачи
Вычислить интеграл по замкнутому контуру, используя основную теорему о вычетах или интегральную теорему Коши, или формулу для производных высших порядков:
(1/2πi) ∮(e^z dz) / (z(1-z)^3), где L - окружность |z| = 2.

Решение
1. Определение особых точек:
* Особые точки функции подынтегральной функции: z = 0 (простой полюс) и z = 1 (полюс третьего порядка).
* Обе особые точки лежат внутри контура интегрирования |z| = 2.
2. Вычисление вычетов:
* Вычет в точке z = 0:
Res(f(z), 0) = lim(z→0) z * f(z) = lim(z→0) e^z / (1-z)^3 = 1

* Вычет в точке z = 1:
Для вычисления вычета в точке третьего порядка воспользуемся формулой для вычета полюса кратности m:
Res(f(z), 1) = (1/2!) * lim(z→1) d^2/dz^2 [ (z-1)^3 * f(z) ]

После дифференцирования и вычисления предела получим:
Res(f(z), 1) = 1/2 * (e - 2)

3. Применение основной теоремы о вычетах:
Согласно основной теореме о вычетах:
∮ f(z) dz = 2πi * Σ Res(f(z), z_k)

где сумма берется по всем особым точкам внутри контура.
4. Окончательный ответ:
∮(e^z dz) / (z(1-z)^3) = 2πi * [1 + 1/2 * (e - 2)] = πi * (e + 2)

Ответ:
Значение интеграла равно πi * (e + 2).
Примечание:
* Вычисление производной второго порядка в формуле для вычета в точке z = 1 может быть достаточно трудоемким. Можно использовать компьютерную алгебраическую систему для упрощения вычислений.
* Важно помнить, что при вычислении вычетов в полюсах высших порядков необходимо использовать соответствующие формулы.
Пояснения:
* Особые точки: Точки, в которых функция или ее производные не определены.
* Вычет: Это коэффициент при (z-z₀)^(-1) в разложении функции в ряд Лорана в окрестности особой точки z₀.
* Основная теорема о вычетах: Связывает интеграл от аналитической функции по замкнутому контуру с суммой вычетов функции во всех особых точках внутри контура.