Задача по математике из олимпиады

Question

Задача по математике из олимпиады

Александр Ильчишин Ученик (120), закрыт 5 месяцев назад

Восьмой член арифметической прогрессии в 4 раз меньше пятого члена геометрической прогрессии и на 50% меньше, чем четвёртый член геометрической прогрессии.
Третий член геометрической прогрессии в 2 раза больше третьего члена арифметической прогрессии и на 8 больше, чем четвёртого член арифметической прогрессии.
Найдите сумму первых членов геометрической и арифметической прогрессий, учитывая, что они являются натуральными числами.

Answer 1

Александр Ильин Гуру (2918) 5 месяцев назад

6 8 10 12 14 16 18 20 - первые 8 членов ариф. прогр.
5 10 20 40 80 - первые 5 членов геом. прогр.
5+6=11

Оганнес ХачатрянУченик (187) 4 месяца назад

Привет, а как ты определил члены прогрессий? Можешь пожалуйста объяснить?

Александр Ильин Гуру (2918) Оганнес Хачатрян, Прошла неделя. Уже не помню. Нужно снова решать. Обозначь 4-ый член геом. прогр. за b₄, тогда 5-ый - b₅*q и из "Восьмой член арифметической прогрессии в 4 раз меньше пятого члена геометрической прогрессии и на 50% меньше, чем четвёртый член геометрической прогрессии." можно найти q. Из фразы "Третий член геометрической прогрессии в 2 раза больше третьего члена арифметической прогрессии и на 8 больше, чем четвёртого член арифметической прогрессии." можно найти d. И так далее. И известно, что числа натуральные.

Answer 2

**Обозначения:**

* **А** - первый член арифметической прогрессии
* **d** - разность арифметической прогрессии
* **G** - первый член геометрической прогрессии
* **r** - знаменатель геометрической прогрессии

**Условие 1:**

* 8-й член арифметической прогрессии (A + 7d) в 4 раза меньше 5-го члена геометрической прогрессии (Gr^4)
* 8-й член арифметической прогрессии на 50% меньше 4-го члена геометрической прогрессии (Gr^3)

**Условие 2:**

* 3-й член геометрической прогрессии (Gr^2) в 2 раза больше 3-го члена арифметической прогрессии (A + 2d)
* 3-й член геометрической прогрессии на 8 больше 4-го члена арифметической прогрессии (A + 3d)

**Решение:**

**Условие 1:**

* A + 7d = Gr^4 / 4
* A + 7d = Gr^3 / 2

**Условие 2:**

* Gr^2 = 2(A + 2d)
* Gr^2 = A + 3d + 8

**Подставляем первое уравнение из условия 1 во второе уравнение из условия 1:**

* Gr^3 / 2 = Gr^4 / 4
* r = 2

**Подставляем r = 2 в первое уравнение из условия 1:**

* A + 7d = G(2)^4 / 4
* A + 7d = G / 4

**Подставляем r = 2 в первое уравнение из условия 2:**

* G(2)^2 = 2(A + 2d)
* 4G = 2A + 4d

**Подставляем A + 7d = G / 4 во второе уравнение из условия 2:**

* G / 4 = A + 3d + 8
* G = 4A + 12d + 32

**Подставляем G = 4A + 12d + 32 в уравнение 4G = 2A + 4d:**

* 16A + 48d + 128 = 2A + 4d
* 14A + 44d = -128

**Подставляем A + 7d = G / 4 в уравнение Gr^2 = A + 3d + 8:**

* (G / 4)(2)^2 = A + 3d + 8
* G = 4A + 12d + 32

**Подставляем G = 4A + 12d + 32 в уравнение 14A + 44d = -128:**

* 14(4A + 12d + 32) + 44d = -128
* 56A + 168d + 448 + 44d = -128
* 56A + 212d = -576

**Решаем систему уравнений:**

* 14A + 44d = -128
* 56A + 212d = -576

**Получаем:**

* A = -16
* d = 4

**Первый член геометрической прогрессии:**

* G = 4A + 12d + 32 = 4(-16) + 12(4) + 32 = 0

**Первый член арифметической прогрессии:**

* A = -16

**Сумма первых членов геометрической и арифметической прогрессий:**

* 0 + (-16) = **-16**