Где связь между словами хлеб и взахлеб, хлеб и щи хлебать ?

Прежде всего это т.н. одногнездовые слова : хлеб, хлебать, похлёбка.
В старину ели т.н. тюрю - кусочки хлеба в молоке или воде, с добавлением нехитрых овощей - лука, репы, моркови. Это была разновидность поХЛЁБки.