Термин " Белые ночи " был введен Достоевским для Петербурга. Его он заимствовал из французского ( la nuit blanche).

Французское выражение «Faire une nuit blanche» означает: иметь бессонную ночь; не сомкнуть глаз; не спать всю ночь; провести ночь без сна и т.п.
Культурная справка: Nuit Blanche — это общегородской ночной художественный фестиваль искусств, который зародился в 2002 году в Париже как праздник, демонстрирующий современное искусство в общественных местах; проводится в более чем 100 городах ежегодно, преимущественно зимой.
Выражение "белые ночи/белая ночь" употребляли многие русские писатели:
◆ «Белые ночи романтически напоминают о нормальном внутреннем свете всех существ и вещей мира» (Н.Бердяев, Смысл творчества);
◆ «Теперь я уже начинаю жалеть о белых ночах, столь измучивших меня после смерти Лидочки…» (Л.Андреев, Иго войны);
◆ «В неверном, полусонном свете белой ночи лицо Рыбникова приняло темный, глиняный оттенок» (А.Куприн, Штабс-капитан Рыбников);
◆ «Белые ночи возмутили Самгина своей нелепостью и угрозой сделать нормального человека неврастеником» (М.Горький, Жизнь Клима Самгина);
◆ «…в Петербурге было тепло и белые ночи, утомляя глаза своим неприятным полусветом, сокращали расходы на освещение бедных лачуг…» (Н.Лесков, Некуда);
◆ «Что может быть лучше петербургской белой ночи? Зачем я лишен дара писать стихи, а то я непременно описал бы эти ночи в звучных рифмах» (Д.Мамин-Сибиряк, Черты из жизни Пепко), а также и поэты:
◆ Белая ночь опустилась безмолвно на скалы,
Светится белая, белая, белая ночь напролёт... (песня А.Колкера на стихи К.Рыжова)
◆ Белая ночь опустилась как облако.
Ветер гадает на юной листве.
Слышу знакомую речь, вижу облик твой.
Ну почему это только во сне? (песня А.Морозова на стихи С.Романова)