В СССР человек потерявший билет на самолёт, мог доказать что он его приобретал?

Да

По паспорту. На кассе всё записано.

нет, не мог
поэтому это была распространённая схема у попрошаек: подайте на билет до дому...

на самолет мог, на поезд нет

мог

До 1970 - какого-то года билеты продавались без паспорта, не были именными.
В этом случае вероятнее всего потеря была окончательной и восстановить, что-то доказать было невозможно.

Когда стали составлять списки пассажиров на рейс - может и была возможность восстановить.

После введения системы "Сирена" - точно мог. До этого - не знаю.

Если приобретался билет в этой кассе то легко. Иначе отправлялся запрос в кассу Н города и ждали ответ. Т.к. не было системы интернета. Работала система телетайпов (усовершенствованная система телеграфированной связи).