Вопрос: как писать правильно?

На

Правильно будет «на Гавайях».

На таити

Смотря на что ударение стоит. Проверочное: в - из, на - с. На Гавайи, с Гавайев.

в анапе

На. Потому что «Я нахожусь На территории Гавайях» а В это когда ты находишься В чем то «я В доме».

В традиционном общественном понимании Гавайи - это остров, он входит в систему Гавайских островов. Поэтому правильно будет "на Гавайях". Однако такое же название носит и американский штат, который географически соответствует этим островам. Если в предложении использовать слово "штат"- то будет "в" (в штате Гавайи)

На Колыме правильно

На

Предлог "на" употребляется в том случае, где речь идёт о географическом понятии, как бы НА поверхности земли этого места. Предлог "в" употребляется тогда, когда говорят об административной единице, как бы В границах данного региона. Например: я живу НА Алтае (как географическое понятие), и в то же время - я живу В Алтайском крае (как административной единице).
Раньше административным образованием была Малороссия. Поэтому так и привыкли говорить: "В Малороссии" и "НА Украине".
ДНР и ЛНР находятся НА Украине (как географическая территория), но не могут быть В Украине, поскольку не входят в состав государственного образования "Украина".
Поэтому, если мы говорим об островах, тогда правильно "на Гавайях". Но если речь идёт о штате Гавайи, то правильно "в штате Гавайи".