Про комплекснозначные корни.

Предупредимся, что здесь и далее все показатели степеней корней будут принадлежать множеству натуральных чисел ℕ и только множеству натуральных чисел ℕ.



У меня возникла проблема с понимаем равенств, содержащих комплекснозначные корни. Я хорошо понимаю (по крайней мере, мне кажется, что я хорошо понимаю), что извлечение комплекснозначного корня с показателем степени корня, отличным от числа 1, из чего-либо — это неоднозначное действие. Однако я плохо понимаю, как работать с равенствами, содержащими эти комплекснозначные корни.



Нужно привести примеры того, как я понимаю (а понимаю, скорее всего, неверно) эту работу с этими равенствами, чтобы вы могли указать мне на мои ошибки. Например, равенство ∜81 = ∜81 (в котором выражение «∜81» в левой части равенства — это комплекснозначный корень 4-й степени из числа 81 и выражение «∜81» в правой части равенства — это комплекснозначный корень 4-й из числа 81) — это, на сколько я понимаю, запись четырëх равенств и двенадцати неравенств:

3 = 3;

3 ≠ 3i;

3 ≠ −3;

3 ≠ −3i;

3i ≠ 3;

3i = 3i;

3i ≠ −3;

3i ≠ −3i;

−3 ≠ 3;

−3 ≠ 3i;

−3 = −3;

−3 ≠ −3i;

−3i ≠ 3;

−3i ≠ 3i;

−3i ≠ −3;

−3i = −3i,

а равенство ∛1 = ∛1 (в котором выражение «∛1» в левой части равенства — это комплекснозначный корень 3-й степени из числа 1 и выражение «∛1» в правой части равенства — это комплекснозначный корень 3-й из числа 1) — это, снова же, на сколько я понимаю, запись трëх равенств и шести неравенств:

1 = 1;

1 ≠ −(1 / 2) + (√3 / 2)i
(выражение «√3», являющееся составляющим выражения «−(1 / 2) + (√3 / 2)i», в правой части неравенства — это арифметический квадратный корень из числа 3);

1 ≠ −(1 / 2) − (√3 / 2)i
(выражение «√3», являющееся составляющим выражения «−(1 / 2) − (√3 / 2)i», в правой части неравенства — это арифметический квадратный корень из числа 3);

−(1 / 2) + (√3 / 2)i ≠ 1
(выражение «√3», являющееся составляющим выражения «−(1 / 2) + (√3 / 2)i», в левой части неравенства — это арифметический квадратный корень из числа 3);

−(1 / 2) + (√3 / 2)i = −(1 / 2) + (√3 / 2)i
(выражение «√3», являющееся составляющим выражения «−(1 / 2) + (√3 / 2)i», в левой части равенства — это арифметический квадратный корень из числа 3; выражение «√3», являющееся составляющим выражения «−(1 / 2) + (√3 / 2)i», в правой части равенства — это арифметический квадратный корень из числа 3);

−(1 / 2) + (√3 / 2)i ≠ −(1 / 2) − (√3 / 2)i
(выражение «√3», являющееся составляющим выражения «−(1 / 2) + (√3 / 2)i», в левой части неравенства — это арифметический квадратный корень из числа 3; выражение «√3», являющееся составляющим выражения «−(1 / 2) − (√3 / 2)i», в правой части неравенства — это арифметический квадратный корень из числа 3);

−(1 / 2) − (√3 / 2)i ≠ 1
(выражение «√3», являющееся составляющим выражения «−(1 / 2) − (√3 / 2)i», в левой части неравенства — это арифметический квадратный корень из числа 3);

−(1 / 2) − (√3 / 2)i ≠ −(1 / 2) + (√3 / 2)i
(выражение «√3», являющееся составляющим выражения «−(1 / 2) − (√3 / 2)i», в левой части неравенства — это арифметический квадратный корень из числа 3; выражение «√3», являющееся составляющим выражения «−(1 / 2) + (√3 / 2)i», в правой части неравенства — это арифметический квадратный корень из числа 3);

−(1 / 2) − (√3 / 2)i = −(1 / 2) − (√3 / 2)i
(выражение «√3», являющееся составляющим выражения «−(1 / 2) − (√3 / 2)i», в левой части равенства — это арифметический квадратный корень из числа 3; выражение «√3», являющееся составляющим выражения «−(1 / 2) − (√3 / 2)i», в правой части равенства — это арифметический квадратный корень из числа 3), —

— так ведь? Если нет, объясните, пожалуйста, как работать с равенствами, содержащими комплекснозначные корни.