Нахождение площади фигуры

1) y=x^2-x, y=0, x=0, x=2

Сначала найдем точки пересечения параболы y=x^2-x с осью y=0 (осью абсцисс):
x^2 - x = 0
x(x-1) = 0
x=0, x=1

Фигура, площадь которой нужно найти, состоит из двух частей:

от x=0 до x=1: график функции y=x^2-x лежит ниже оси абсцисс (y<=0)

от x=1 до x=2: график функции y=x^2-x лежит выше оси абсцисс (y>=0)

Поэтому площадь будет равна сумме двух интегралов:
S = ∫(от 0 до 1) |x^2-x| dx + ∫(от 1 до 2) (x^2-x) dx
= -∫(от 0 до 1) (x^2-x) dx + ∫(от 1 до 2) (x^2-x) dx

Вычисляем интегралы:
-∫(от 0 до 1) (x^2-x) dx = -[x^3/3 - x^2/2](от 0 до 1) = -(1/3 - 1/2) = 1/6
∫(от 1 до 2) (x^2-x) dx = [x^3/3 - x^2/2](от 1 до 2) = (8/3 - 2) - (1/3 - 1/2) = 7/3 - 3/2 = 5/6

S = 1/6 + 5/6 = 1

Ответ: 1

2) y=4x^2/9 + 2 и y=2x^2/9 + 4

Найдем точки пересечения парабол:
4x^2/9 + 2 = 2x^2/9 + 4
2x^2/9 = 2
x^2 = 9
x = -3, x = 3

На интервале от -3 до 3 график функции y=2x^2/9 + 4 лежит выше графика y=4x^2/9 + 2.

Площадь фигуры равна интегралу от разности функций:
S = ∫(от -3 до 3) ((2x^2/9 + 4) - (4x^2/9 + 2)) dx
= ∫(от -3 до 3) (2 - 2x^2/9) dx

Вычисляем интеграл:
∫(от -3 до 3) (2 - 2x^2/9) dx = [2x - 2x^3/27](от -3 до 3) = (6 - 2) - (-6 + 2) = 8

Ответ: 8

3) y=x^2 и y=1-x^2

Найдем точки пересечения парабол:
x^2 = 1 - x^2
2x^2 = 1
x^2 = 1/2
x = -1/√2, x = 1/√2

На интервале от -1/√2 до 1/√2 график функции y=1-x^2 лежит выше графика y=x^2.

Площадь фигуры равна интегралу от разности функций:
S = ∫(от -1/√2 до 1/√2) ((1-x^2) - x^2) dx
= ∫(от -1/√2 до 1/√2) (1 - 2x^2) dx

Вычисляем интеграл:
∫(от -1/√2 до 1/√2) (1 - 2x^2) dx = [x - 2x^3/3](от -1/√2 до 1/√2)
= (1/√2 - 2/(3 * 2√2)) - (-1/√2 + 2/(3 * 2√2))
= 2/√2 - 4/(6√2) = 2/√2 - 2/(3√2) = (6 - 4)/(3√2) = 2/(3√2) * √2/√2 = 2√2 / 6 = √2 / 3 * 2 = 2√2 / 3

Ответ: 2√2 / 3

4) y=1/x, x=1, x=3, y=0

На интервале от 1 до 3 график функции y=1/x лежит выше оси абсцисс (y=0).

Площадь фигуры равна интегралу:
S = ∫(от 1 до 3) (1/x) dx

Вычисляем интеграл:
∫(от 1 до 3) (1/x) dx = [ln|x|](от 1 до 3) = ln(3) - ln(1) = ln(3)

Ответ: ln(3)