Комплексные числа в физике

Вот здесь много примеров https://elmag.nsu.ru/doku.php?id=lab5:%D0%BE%D0%BF%D0%B8%D1%81%D0%B0%D0%BD%D0%B8%D0%B5_%D0%BF%D1%80%D0%BE%D1%86%D0%B5%D1%81%D1%81%D0%BE%D0%B2#:~:text=%D0%97%D0%B0%D0%BA%D0%BE%D0%BD%20%D0%9E%D0%BC%D0%B0%20%D0%B4%D0%BB%D1%8F%20%D1%86%D0%B5%D0%BF%D0%B5%D0%B9%2C%20%D1%81%D0%BE%D0%B4%D0%B5%D1%80%D0%B6%D0%B0%D1%89%D0%B8%D1%85,I%20%E2%88%92%20%D0%BF%D1%80%D0%BE%D1%82%D0%B5%D0%BA%D0%B0%D1%8E%D1%89%D0%B8%D0%B9%20%D0%BF%D0%BE%20%D0%BD%D0%B5%D0%BC%D1%83%20%D1%82%D0%BE%D0%BA.

Радиотехника, теория электромагнетизма. Это полностью вотчина комплексных чисел.

Грубо говоря, комплексные числа позволяют включить в понятие числа не только величину, но и направление. Как ни странно, но их свойства, правила действий с ними совпадают со многими свойствами реальных процессов, ими очень просто описываются многие вещи, например, сложение переменных напряжений и токов. А многие более сложные вещи без них практически просто не описать на языке математики.
Ну, к примеру, если ты представишь, что на плоскости по оси х откладываются обычные числа, а по оси y - тоже обычные, но умноженные на корень из минус единицы, то у тебя получится, что пара обычного и мнимого числа дает точку на плоскости. Кстати, такая пара называется комплексным числом, их можно складывать, вычитать, умножать, делить друг на друга и так далее. Так вот, поворот такой точки вокруг центра координат очень просто описывается через умножение этих чисел. Всякие переносы и вращения на плоскости сводятся к обычным простым алгебраическим операциям с комплексными числами, что очень упрощает расчеты.
А всякие волны легко отображаются точками на плоскости, показывающими их фазу и амплитуду. И становится очень легко рассчитывать всякие сложения волн.
Если ты начнешь заниматься электротехникой, радиотехникой, вообще физикой - от теории относительности до квантовой механики - увидишь, что они все "сидят верхом" на комплексных числах, почти все модели и расчеты базируются на них.
Кстати, существуют и гиперкомплексные числа, например, кватернионы часто используются при расчете трехмерных картинок на экране монитора - с ними очень просто описываются повороты и вращения в трехмерном пространстве.
"Бог создал натуральные числа, а дьявол - все остальные" (кажется, Кронекер)

Первая трудность. Невозможно написать проект, не объяснив предварительно комплексные числа в трёх видах и не показав, как выполняются в них хотя бы сложения, умножения и возведения в степень (типа формул Муавра и Эйлера). Вторая трудность. Описывать в комплексных числах имеет смысл переменные токи, трёхфазные и т.д. Для этого не хватает электродинамики 10 класса!
Не вижу смысла в написании "проэкта", который фактически охватывает целый курс технического вуза.
Просто для интереса - самый простой кусочек.

Применение в квантовой механике и теории диффуров обхяснить сложно. Не оч представляю, с чегоначать. А вот в элтехе еще можно (если вы проходили производные). Берем последовательную цепь из источника синусоидального напряжения:
U(t) = Uo cos(w t),
резистора R, индуктивности L и емкости C. Ток в цепи обзовем J(t), и закон Ома будет выглядеть так:
R J(t) + (1 / C) ∫ dt J(t) + L J'(t) = Uo cos(w t).
Далее, раз мы знаем, что напряжение периодическое, то и ток мы ожидаем получить в виде периодической функции времени, с той же частотой. Эт значит, что ток будет какой-то комбинацией синуса и косинуса. Это неудобно. Поэтому мы к этому дописываем второе уравнение для новый функций (оно никак не портит первое уравнение):
R G(t) + (1 / C) ∫ dt G(t) + L G'(t) = Uo sin(w t).
Теперь складываем первое уравнение со вторым, умноженным на i:
R [J + i G] + (1 / C) ∫ dt [J + i G] + L [J + i G] = Uo exp(i w t).
Справа синус и косинус свернули по формуле Эйлера в экспоненту. Теперь введем обозначение комплексного тока:
J + i G = I.
Тогда наш настоящий ток - это реальная часть от комплексного:
J = Re(I).
То есть мы знаем как извлечь реальный ток из нашей новой штуки, но уравнение для новой штуки сильно удобнее:
R I + (1 / C) ∫ dt I + L I' = Uo exp(i w t).
Периодическое решнеие с той же частотой сразу можно искать в виде экспоненты:
I = Io exp(i w t).
Подставялем в уравнение:
R Io exp(i w t) + (Io / C) ∫ dt exp(i w t) + L Io exp(i w t)' = Uo exp(i w t),
интеграл и производная сразу берутся, на экспоненту можно сократить:
R Io + (Io / [i w C]) + [i w L] Io = Uo,
Получается элементарное уравнение для комплексной амплитуды тока:
{R + (1 / [i w C]) + i w L} Io = Uo.
Получили закон Ома в комплксном виде для синусоидального тока. Хренотень в фигурных скобках - комплексное сопротивление. Оно у нас получилось в виде суммы трех кусков, которые естественно назвать:
R - резистивное сопротивление,
1 / (i w C) - емкостное сопротивление,
i w L - индуктивное сопротивление.
И дальше любые линейные цепи под действием синусоидальных напряжений можно переводить на язык комплексных токов и сопротивлений. Для этого пришлось всего лишь приписать емкости и индуктивности мнимые сопротивления (зависящие от частоты). За то у нас сохранятся все привычные законы Ома и Кирхгоффа... и вместо уравнений для периодических функций получатся алгебраические уравнения для амплитуд (или действующих значений, если все уравнения поделить на корень из двух).