Помогите с математикой

ты хоть в теме вопроса предупреждай о теме, я от радости, когда открыл, чуть не сдох, не 7 класс)

Решим эту систему дифференциальных уравнений.

1. Запись в матричном виде

Систему можно записать в матричном виде:

d/dx [y1] = [12 5] [y1]
d/dx [y2] [ 5 12] [y2]


Или, более компактно:

Y' = AY


где:

• Y = [y1, y2]^T (вектор-столбец неизвестных функций)
• Y' = [dy1/dx, dy2/dx]^T (вектор-столбец производных)
• A = [[12, 5], [5, 12]] (матрица коэффициентов)

2. Нахождение собственных значений

Для нахождения общего решения, сначала нужно найти собственные значения матрицы A. Это делается путем решения характеристического уравнения:

det(A - λI) = 0


где λ - собственное значение, а I - единичная матрица.

В нашем случае:

det([[12-λ, 5], [5, 12-λ]]) = (12-λ)^2 - 5^2 = 0


Раскрываем и упрощаем:

144 - 24λ + λ^2 - 25 = 0
λ^2 - 24λ + 119 = 0


Решаем квадратное уравнение:

λ = (24 ± sqrt(24^2 - 4*119)) / 2
λ = (24 ± sqrt(576 - 476)) / 2
λ = (24 ± sqrt(100)) / 2
λ = (24 ± 10) / 2


Собственные значения:

• λ1 = (24 + 10) / 2 = 17
• λ2 = (24 - 10) / 2 = 7

3. Нахождение собственных векторов

Теперь найдем собственные векторы, соответствующие каждому собственному значению.

• Для λ1 = 17:

(A - 17I)v1 = 0

[[-5, 5], [5, -5]] [v1x, v1y]^T = [0, 0]^T


Получаем систему уравнений:

-5v1x + 5v1y = 0
5v1x - 5v1y = 0


Оба уравнения эквивалентны v1x = v1y. Выберем v1x = 1, тогда v1y = 1. Собственный вектор: v1 = [1, 1]^T.

• Для λ2 = 7:

(A - 7I)v2 = 0

[[5, 5], [5, 5]] [v2x, v2y]^T = [0, 0]^T


Получаем систему уравнений:

5v2x + 5v2y = 0
5v2x + 5v2y = 0


Оба уравнения эквивалентны v2x = -v2y. Выберем v2x = 1, тогда v2y = -1. Собственный вектор: v2 = [1, -1]^T.

4. Общее решение

Общее решение системы дифференциальных уравнений имеет вид:

Y(x) = C1 * v1 * e^(λ1 * x) + C2 * v2 * e^(λ2 * x)


Подставляем найденные значения:

[y1(x)] = C1 * [1] * e^(17x) + C2 * [1] * e^(7x)
[y2(x)] [1] [-1]


Или, в развернутом виде:

y1(x) = C1 * e^(17x) + C2 * e^(7x)
y2(x) = C1 * e^(17x) - C2 * e^(7x)


где C1 и C2 - произвольные постоянные.

Общее решение системы дифференциальных уравнений:

y1(x) = C1 * e^(17x) + C2 * e^(7x)
y2(x) = C1 * e^(17x) - C2 * e^(7x)

Ответ