Почему только врачи дают так называемую клятву Гиппократа, а другие (полицейские, пожарные, инженеры и т.д.) клятву

Врачи тоже не дают, это раньше было.

Полицейские дают присягу сотрудников органов внутренних дел. У пожарных, если они в погонах, тоже своя присяга есть. Инженеры присягу дают, если они в армии или в органах служат, а не в коммерческих организациях работают.

Эта клятва - не более чем красивая традиция. Юридической силы она не имеет.
А вот полицейские приносят присягу, которая имеет юридическую силу, и за нарушение которой законом предусмотрена ответственность.

там дают ВЗЯТКУ, а не клятву.

Врачи тоже не дают уже лет двадцать

Врачи уже не дают её.

Клятва в те времена это как диплом сейчас. Нельзя было оценить квалификацию врача на месте, оставалось доверять ему и богам, которыми он клянется.