Геометрия 8 класс. Сириус
Заполните пропуски в тексте так, чтобы получилось правильное решение.
Задача. Точки E и F — середины сторон BC и AD выпуклого четырёхугольника ABCD. Докажите, что отрезок EF делит диагонали AC и BD в одном и том же отношении.
Решение. Случай, когда ABCD — трапеция с основаниями AB и CD, очевиден (в этом случае EF∥AB и утверждение следует из теоремы Фалеса). Поэтому, не умаляя общности, можно считать, что прямые EF и AB пересекаются. Обозначим их точку пересечения через X.
Точки пересечения отрезка EF с диагоналями AC и BD обозначим через M и N соответственно. Запишем теорему (Менелая; Чевы) для треугольника (ABC; ABD; ACD; BCD) и (прямой AB; прямой BD; прямой EF; точки M; точки N; точки X)
1 = AF/FD * DN/NB * (AB/AX; AX/BX; BX/AX)
и, учтя, что AF=FD, получим, что BN/ND = (AB/AX; AX/BX; BX/AX).
Аналогично, используя теорему (Менелая; Чевы) для треугольника (ABC; ABD; ACD; BCD) и (прямой AB; прямой AC; прямой EF; точки M; точки N; точки X), находим, что CM/AX = (AX/BX; BX/AX; AB/BX; BX/AB), откуда BN/ND = (AM/CM; CM/AM)
Случай, когда ABCD — трапеция с основаниями AB и CD, очевиден (в этом случае EF∥AB и утверждение следует из теоремы Фалеса). Поэтому, не умаляя общности, можно считать, что прямые EF и AB пересекаются. Обозначим их точку пересечения через X.
Точки пересечения отрезка EF с диагоналями AC и BD обозначим через M и N соответственно. Запишем теорему Менелая для треугольника ABC и прямой BD, для прямой EF, точки M и точки N.
Каждая из следующих пропорций:
1 = AF/FD DN/NB AB/AX AX/BX BX/AX,
и, учтя, что AF=FD, получим, что BN/ND = AB/AX * AX/BX.
Аналогично, используя теорему Менелая для треугольника ABD и прямой EF, точки M и N, можем записать:
CM/AX = AX/BX * BX/AB,
откуда следует, что BN/ND = AM/CM.
Так как у нас были равные отношения для BN/ND в обоих случаях, мы приходим к заключению: отрезок EF действительно делит диагонали AC и BD в одном и том же отношении. Это завершает доказательство.
ты это дьяволу покажи, может поможет