Где естественным образом возникают конечномерные моудули над конечными кольцами?

Ну, ты и вопросы задаёшь. Естественным образом никак не могут возникнуть ни бесконечномерность, ни бесконечные кольца.
... Как определить, что это кольцо, если оно бесконечное???

Так что делай не логический вывод, что все конечномерные и конечноколечные возникают ЕСТЕСТВЕННЫМ образом.

Аз, ну, да - везде.

Конечномерные модули над конечными кольцами возникают естественным образом в представлении конечных групп через групповые алгебры конечных групп над конечными полями.