Математика 2 курс

a) y’ = 2x + 5
y = ∫(2x + 5) dx = x² + 5x + C
б) y’ = 3x² - 4x + 7
y = ∫(3x² - 4x + 7) dx = x³ - 2x² + 7x + C

Не нужна вам с этим помощь, прочитайте про уравнения с разделяющимися переменными. На втором курсе там не должно быть ничего непонятного.

Для второй задачи нужно сделать следующее:
1) производную y' заменить на отношение дифференциалов dy/dx:
dy/dx = x*y/(x^2+1)
2) Умножить левую и правую часть на dx:
dy = x*y/(x^2+1) dx
3) Сделать так, чтобы в левой части были только игреки, справа - только иксы. Для этого нужно левую и правую часть разделить на x. Получаем:
dy/y = x*/(x^2+1) dx
4) Проинтегрировать отдельно левую и правую части:
интеграл dy/y = ln|y| + C (табличный интеграл)
интеграл x*/(x^2+1) dx = (замена z = x^2, dz = 2x dx) = 1/2 * интеграл dz / (z+1) = 1/2 * интеграл d(z+1) / (z+1) = 1/2 * ln|z+1| +C = 1/2 * ln |x^2+1| + C (сделали обратную замену)
5) Получили: ln|y| = 1/2 * ln |x^2+1| + C (константу можно только одну оставить, справа)
6) Поставляем начальные условия: x=2*sqrt(2), y=3:
знаки модулей опустили, числа внутри модулей положительные
ln 3 = 1/2 * ln (8+1) + C
ln 3 = 1/2 * ln (9) + C (вспомнили свойство логарифма: 1/2 * ln (9) = ln(9^(1/2)) = ln 3)
ln 3 = ln (3) + C, откуда С = 0
Ответ: ln|y| = 1/2 * ln |x^2+1| или y = sqrt |x^2+1|