Доказать иррециональность . СРОЧНО !!!!!

Предположим, что число √3 - √5 рациональное. Тогда его можно представить в виде дроби a/b, где a и b - целые числа, и b ≠ 0.

Итак, допустим:

√3 - √5 = a/b

Возведем обе части уравнения в квадрат:

(√3 - √5)² = (a/b)² 3 - 2√(3*5) + 5 = a²/b² 8 - 2√15 = a²/b²

Теперь выразим √15:

2√15 = 8 - a²/b² √15 = (8 - a²/b²)/2 √15 = (8b² - a²)/(2b²)

Так как a и b - целые числа, то выражение (8b² - a²)/(2b²) тоже является рациональным числом.

Получается, что √15 - рациональное число.

Однако, хорошо известно, что √15 - число иррациональное. Это можно доказать аналогичным способом: предположить, что √15 = p/q, где p и q - целые числа, возвести в квадрат (15 = p²/q²), и получить, что p² = 15q². Это означает, что p² делится на 3 и на 5, а значит и p должно делиться на 3 и на 5. То есть p = 3k и p = 5l для каких-то целых k и l. Подставляя это в уравнение, можно показать, что q также должно делиться на 3 и на 5, что противоречит несократимости дроби p/q.

Итак, мы пришли к противоречию: с одной стороны, мы получили, что √15 рациональное, а с другой стороны, √15 иррациональное.

Это противоречие означает, что наше первоначальное предположение, что √3 - √5 рациональное, было неверным.

Следовательно, √3 - √5 - число иррациональное.

√3 – √5 = a, a ∈ ℚ
√3 = a + √5
3 = (a + √5)² = a² + 2a√5 + 5
2a√5 = –a² – 2
√5 = –(a² + 2)/(2a)
(так как a ∈ ℚ, то √5 ∈ ℚ, что неверно)