ГЕОМЕТРИЯ 8 КЛАСС

сам докажи

1. Введение системы координат:

Введем систему координат с началом в точке A и осями, совпадающими со сторонами AB и AD. Пусть координаты вершин прямоугольника будут:

A(0, 0)
B(a, 0)
C(a, b)
D(0, b)
где a и b - длины сторон AB и AD соответственно.

Пусть координаты точки P будут (x, y).

2. Выражение квадратов расстояний:

Теперь выразим квадраты расстояний между точкой P и вершинами прямоугольника:

PA² = (x - 0)² + (y - 0)² = x² + y²
PB² = (x - a)² + (y - 0)² = (x - a)² + y² = x² - 2ax + a² + y²
PC² = (x - a)² + (y - b)² = x² - 2ax + a² + y² - 2by + b²
PD² = (x - 0)² + (y - b)² = x² + (y - b)² = x² + y² - 2by + b²
3. Вычисление сумм квадратов расстояний:

Теперь вычислим суммы, указанные в условии задачи:

PA² + PC² = (x² + y²) + (x² - 2ax + a² + y² - 2by + b²) = 2x² - 2ax + 2y² - 2by + a² + b²
PB² + PD² = (x² - 2ax + a² + y²) + (x² + y² - 2by + b²) = 2x² - 2ax + 2y² - 2by + a² + b²
4. Сравнение сумм:

Мы видим, что PA² + PC² = 2x² - 2ax + 2y² - 2by + a² + b² и PB² + PD² = 2x² - 2ax + 2y² - 2by + a² + b². Следовательно, PA² + PC² = PB² + PD².

Заключение:

Мы доказали, что для любой точки P, находящейся внутри прямоугольника ABCD, сумма квадратов расстояний от P до вершин A и C равна сумме квадратов расстояний от P до вершин B и D, то есть PA² + PC² = PB² + PD².