Тригонометрическое уравнение из олимпиады по математике

Надеюсь, еще не поздно предложить решение. Наверное, это можно сделать красивее, но я пойду в лоб.

Поскольку cos(x) cos(y) = |cos(x) + cos(y)| ≥ 0 при всех x и y, то cos(x) и cos(y) должны быть одного знака (чтобы их произведение было равно неотрицательному числу). Тогда есть два случая

1. cos(x) ≥ 0 и cos(y) ≥ 0
2. cos(x) ≤ 0 и cos(y) ≤ 0

Рассмотрим случай 1, потому что случай 2 разбирается аналогично. Итак, пусть cos(x) ≥ 0 и cos(y) ≥ 0. Тогда их сумма тоже неотрицательна и уравнение переписывается в виде
cos(x) cos(y) = cos(x) + cos(y)
(cos(x) - 1) cos(y) = cos(x)

Поскольку cos(x) и 1 - cos(x) не могут обнулиться одновременно, то те x, при которых cos(x) = 1, не являются решениями. Тогда можно поделить и выразить
cos(y) = cos(x) / (1 - cos(x))

Раз 0 ≤ cos(x) < 1, то cos(y) = cos(x) / (1 - cos(x)) ≤ 0. Но мы предположили, что cos(y) ≥ 0, поэтому равенство возможно только в том случае, если cos(y) = 0. Но тогда обязательно и cos(x) = 0. То есть решениями нашего уравнения будут те точки (x, y), которые обнуляют оба косинуса.

Поскольку случай 2 аналогичен и не добавляет новых решений, то наш ответ такой: x = π/2 + πn и y = π/2 + πm, где m и n — произвольные целые числа.